9na Competencia de Clubes Cabri
Segunda Ronda

24 de octubre de 1998

 

nivel A

1

Construir la siguiente figura donde ABC es equilátero y ADE, BFG y CHI son triángulos equiláteros de centros C, A y B respectivamente.

2

Para la figura del problema anterior, hallar el área de DEFGHI si el área de ABC es 303.

 

3

Dividir un cuadrado en piezas de manera que reacomodando todas esas piezas se pueda formar ocho cuadrados iguales.

 

4

Dado un paralelogramo ABCD, se construye la circunferencia C circunscripta a ABC de centro O y la circunferencia C’ circunscripta a ACD de centro O’. Probar que OAOC es un rombo. Justificar.

 

 

nivel B

5

Dado un cuadrado ABCD, construir un cuadrado AEFG.

  1. Hallar el lugar geomérico de E para que AEFG sea congruente al cuadrado ABCD.
  2. Si AEFG = ABCD, probar que los puntos B, C, F y G están sobre una circunferencia.
  3. Hallar el lugar geométrico del centro de dicha circunferencia al variar E sobre el lugar geométrico obtenido en i.
  4. ¿Qué tipo de cuadrilátero es BCFG?

 

6

Dado un rectángulo ABCD y un punto P en AB. Sean E, F y G los baricentros de los triángulo PBC, PCD y PDA respectivamente. Hallar el área de EFG si el área de ABCD es 1998.

 

7

Sea ABC un triángulo equilátero de centro O. Sea M el punto medio de BC. Trazar la circunferencia de centro P (siendo P el punto de intersección entre la bisectriz de OBC y OM) tangente a AB y AC. Se trazan las rectas BE y CF tangentes a dicha circunferencia en E y F (no pertenecientes a AB y AC), formandose el cuadrilátero ABCD. Hallar los ángulos del mismo.

 

8

Dado un cuadrado ABCD sea E un punto AB y G un punto CD. Construir el paralelogramo EFGH con F en BC y H en DA.

 

 

nivel C

9

Construir la siguiente figura, donde ABCDEF es un hexágono regular de centro O y AIOH, DGOJ son cuadrados:

  1. Probar que FIJE y HBCG son rectángulos.
  2. Construir un cuadrado de centro O tal que el área del mismo sea la diferencia entre las áreas de AIOH y BCGH. Sugerencia: Trazar las circunferecias circunscritas a BCGH y EFIJ.

Dado un paralelogramo ABCD y un punto P en su interior se trazan los simétricos de P con respecto a AB, BC, CD y DA formándose un cuadrilátero EFGH. Probar que dicho cuadrilátero tiene área fija sin importar la ubicación de P.

 

10

Sea AB un segmento y P un punto cualquiera. Se construyen los cuadrados MNOP y PQRS de centros A y B respectivamente (QM no corta a AB). Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de QM y OS al moverse P por todo el plano.

 

11

Sea ABCD un cuadrilátero inscripto en una circunferencia. Probar que los incentros de ABC, BCD, CDA y DAB forman un rectángulo.

 

12

Dado un paralelogramo ABCD y un punto P en su interior se trazan los simétricos de P con respecto a AB, BC, CD y DA formándose un cuadrilátero EFGH. Probar que dicho cuadrilátero tiene área fija sin importar la ubicación de P.

 


Archivo de Enunciados Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   
www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar

 

duty free alcohol duty free cig duty free cigars online buy cosmetics wholesale perfumes duty free where to buy tobacco online uk
duty free booze duty free cigarettes rules duty free cigars uk cosmetic duty free duty free perfumes buy tobacco online usa