4^to Torneo de Computación y Matemática
Primera Ronda

15 al 22 de agosto de 2001 - No presencial

Nivel 1 (7^mo y 8^vo año de escolaridad)

1

Buscar dos números enteros positivos X ; Y que verifiquen X * Y + 2 * X + 3 * Y = 1733.

2

Para una fiesta que organizó, Matilde compró cierta cantidad de bolsas de nueces. Cada bolsa trae una gruesa (144 nueces). A cada uno de los invitados le tocaron 17 nueces, y sobró una, que estaba en mal estado. Siendo que los invitados eran menos de 200, ¿cuántos eran, exactamente?

3

Entre los números enteros desde el 1991 al 2011 (ambos inclusive), ¿cuál es el que tiene la mayor cantidad de divisores?

Por ejemplo, 60 tiene 12 divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Nivel 2 (9^no y 10^mo año de escolaridad)

1

Encontrar todos los números de cuatro cifras N tales que las últimas cuatro cifras de N ² son iguales al número N.

Por ejemplo, las últimas cuatro cifras de 3662 ² son 0244, así que 3662 no sirve.

2

a) Dar una lista de todos los números enteros positivos menores que 100000 que tienen por lo menos 119 divisores.

b) Dar una lista de todos los números enteros positivos menores que 1000000 que tienen por lo menos 219 divisores.

Nota: Por ejemplo, 60 tiene 12 divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

3

Encontrar cuatro números enteros positivos X ; Y ; Z ; W todos distintos entre sí, que estén entre 200 y 500 y que verifiquen que X ² + Y ³ = Z ² + W ³ .

Nivel 3 (11^er año de escolaridad en adelante)

1

Encontrar todos los números enteros positivos N tales que no tienen ningún cero en su escritura decimal, N ² tampoco tiene ningún cero y los dígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 aparecen exactamente una vez en el número que se forma concatenando N y N ².

Por ejemplo, si N = 2001, concatenar N y N ² = 4004001 da 20014004001.

2

Se tiene una caja con muchos polígonos regulares de todos los tipos, todos de lado 1. Se toma un grupito y se trata de ubicarlos sobre la mesa formando una ronda alrededor de un vértice común a todos de manera que "peguen" perfectamente (o sea, de manera que cada uno comparta un lado con ambos vecinos). Dar una lista de todos los grupitos distintos que se pueden ubicar de esta manera.

Nota: Los dos dibujos de la izquierda son dos formas de colocar el mismo grupito, porque están compuestos por 3 triángulos equiláteros y dos cuadrados, así que se cuentan solamente una vez. Otro ejemplo: 3 pentágonos regulares no sirve, porque no "cierra".

3

¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de ANTIOXIDANTE, de manera que no haya más de dos vocales o dos consonantes seguidas?

Por ejemplo: ITOIXDEANTAN, XDITAENITNAO, INADAEXTINTO, ...

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