II Olimpíada del Mercosur
Torneo de Frontera 1997 - Prueba 1

1

Pedrito midió el largo del terreno de su tío con pasos de 54cm. Después midió el tío con pasos de 72cm. Quedaron marcadas en total 61 pisadas, pero a veces la misma marca correspondía a dos pisadas, una de Pedrito y otra del tío.
¿Cuál es el largo del terreno?

2

¿De cuántas maneras puede unirse A con B moviéndose sobre la cuadrícula si no está permitido pasar dos veces por el mismo lugar ni moverse hacia la izquierda? La figura muestra un camino posible.

3

La zona sombreada está comprendida entre el triángulo equilátero y la semicircunferencia de radio 1. Hallar su área.

1

Sean p=2.3.5.7.11.13..... el producto de todos los números primos hasta 1997 y q=3.5.7.9.11.13..... el producto de todos los números impares hasta 1997. Hallar la penúltima cifra de la derecha del producto pq.

2

Se marcaron en una recta 1997 puntos y se pintaron de azul o rojo. A continuación se colorearon los segmentos entre puntos consecutivos:

• Si los dos extremos eran rojos el segmento se pintó de rojo.
• Si los dos extremos eran azules el segmento se pintó de azul.
• Si los dos extremos eran de distinto color el segmento se pintó de blanco.

Al finalizar, hay 100 segmentos blancos y se sabe además que el primer punto era rojo.
Decidir si con esta información es posible determinar con seguridad el color del último punto. Justificar la respuesta.

3

En el triángulo ABC, D es el punto medio de BC, E es el punto medio de AC y F es el punto medio de AB. Si AD, BE, CF miden 144, 90, 90, respectivamente, hallar el área del triángulo DEF.

1

¿Cuántos son los enteros positivos de tres cifras abc (a0, c0) tales que cba es múltiplo de abc?

ACLARACIÓN: abc denota al número entero que tiene la cifra c en las unidades, la cifra b en las decenas y la cifra a en las centenas.

2

Hallar las tres últimas cifras de la derecha del número 19⁹⁷.

3

Sean ABC un triángulo isósceles (AC=BC) y P el punto del lado BC tal que PC/BP=4. Se prolonga el lado CA y sobre esa prolongación se marca el punto Q tal que QA=BP. El segmento PQ intersecta a la base AB en el punto R. Hallar AR/AB.

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