II Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Enero de 1987. Salto, Uruguay

1

Encontrar las f(x) tales que:

para x0, x1, x-1.

2

En un triángulo ABC, M y N son los puntos medios respectivos de los lados AC y AB, y P el punto medio de intersección de BM y CN. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero ANPM, entonces el triángulo ABC es isósceles.

3

Pruebe que si m, n, r son enteros positivos, no nulos, y:

entonces m es un cuadrado perfecto.

4

Se define la sucesión p_n de la siguiente manera: p₁ = 2 y para todo n mayor o igual que 2, p_n es el mayor divisor primo de la expresión:

p₁ p₂ p₃ ... p_n-1 + 1

Pruebe que p_n es diferente de 5.

5

Si r, s y t son las raíces de la ecuación:

x(x-2)(3x-7) = 2

1. Demuestre que r, s y t son positivos.
2. Calcule: arctan r + arctan s + arctan t.

Nota: Se denota con arctg x, el arco comprendido entre 0 y cuya tangente es x.

6

Sea ABCD un cuadrilátero plano convexo, P y Q son puntos de AD y BC respectivamente Tales que:

Demuestre que los ángulos que forma la recta PQ con las rectas AB y DC son iguales.

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