25° Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Prueba de Selección

5 y 6 de agosto de 2010

Primer día

1. Emiliano y Mariano juegan en un tablero de 8 x 8. Primero Emiliano escribe un número entero en cada casilla del tablero, a su elección (puede repetir números). A continuación Mariano modifica los números del tablero con el siguiente procedimiento: elige un cuadrado formado por casillas del tablero, de tamaño mayor o igual que 2 x 2 y menor o igual que 7 x 7, y le suma 1 a todas las casillas de ese cuadrado, o le resta 1 a todas las casillas de ese cuadrado.
Mariano gana si logra, aplicando reiteradas veces el procedimiento (puede variar los tamaños de los cuadrados), que todas las casillas del tablero de 8 x 8 tengan escrito el 0. Demostrar que no importa qué números coloque Emiliano, Mariano siempre puede ganar.

2. Hallar todos los números primos positivos p tales que  es un cuadrado perfecto.

3. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, y lados BC y DA, tal que AB = 2CD. Sea E el punto medio del lado BC.
Demostrar que AB = BC si y sólo si el cuadrilátero AECD tiene una circunferencia inscripta.
ACLARACIÓN: El cuadrilátero AECD, de lados AE, EC, CD y DA tiene una circunferencia inscripta (tangente a sus cuatro lados) si y sólo si AE + CD = DA + EC.
 

Segundo día

4. Sea O el circuncentro del triángulo acutángulo ABC y sea G su circunferencia circunscrita. La bisectriz del ángulo interior  corta a G en D. La bisectriz del ángulo interior  corta a G en E. Sea I el incentro del triángulo ABC. Si los puntos D, E, O e I pertenecen a una misma circunferencia, calcular la medida del ángulo
ACLARACIÓN: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por sus tres vértices. Su centro se denomina circuncentro. El incentro de un triángulo es el punto de intersección de las bisectrices del triángulo.

5. a) Demostrar que no existen números reales x, y tales que x + y es un número irracional y los tres números , ,  son todos racionales.

b) Demostrar que existen números reales x, y tales que x + y es un número irracional y los dos números ,  son ambos racionales. 

6. Sea n mayor o igual que 2 un entero. Seba elige n enteros positivos  cuya suma es par y que satisfacen  para todo
i = 1, 2, …, n (puede haber números repetidos). A continuación Miguel elige los signos + o – en la expresión  Miguel gana si el valor de la suma indicada es igual a 0. Si no, gana Seba. Determinar si Seba puede elegir los números para que a Miguel le sea imposible ganar o si siempre Miguel podrá lograr su objetivo.

Archivo de Enunciados Página Principal	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar