III Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Abril de 1988. Lima, Perú

1

Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética.
Demuestre que el triángulo es equilátero.

2

Sean a, b, c, d, p y q números naturales no nulos que verifican ad - bc = 1, y .
Demostrar que:

1. q b + d
2. Si q = b + d entonces p = a + c.

3

Demuestre que entre todos los triángulos cuyos vértices distan 3, 5 y 7, de un punto dado P, el que tiene mayor perímetro admite a P como su incentro.

4

Sea ABC un triángulo cuyos lados son a, b, c. Se divide cada lado del triángulo en n segmentos iguales. Sea S la suma de los cuadrados de las distancias de cada vértice a cada uno de los puntos de división del lado opuesto distintos de los vértices.
Demuestre que: es un número racional.

5

Considere las expresiones de la forma x + yt + zt² con x, y, z números racionales y t³ = 2.
Demuestre que:
Si x + yt + zt² 0, entonces existen u, v, w racionales tal que:

(x + yt + z²).(u + vt + wt²) = 1

6

Considere los conjuntos de n números naturales diferentes de cero en los cuales no hay tres elementos en progresión aritmética.
Demuestre que en uno de esos conjuntos la suma de los inversos de sus elementos es máximo.

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