Primer día

1. Sea ABC un triángulo y sea O el centro de la circunferencia que es tangente al lado AC y a las prolongaciones de los lados BA y BC. Si D es el centro de la circunferencia que pasa por A, B y O, probar que A,B,C y D pertenecen a una circunferencia.

2. Se consideran todas las ternas de números reales positivos que verifican: 1/3 x.y + y.z + x.z 3.

1. Describir el conjunto de todos los valores que toma x.y.z
2. Describir el conjunto de todos los valores que toma x+y+z

Justificar la respuesta.

3. Se considera una recta en el plano con dos de sus puntos coloreados: uno azul, a la izquierda, y uno rojo, a la derecha. En cada paso se puede efectuar cualquiera de las siguientes operaciones:

• Colorear dos puntos "vecinos" con el mismo color (ambos azules o ambos rojos).
• Despintar dos puntos "vecinos" del mismo color.

(Dos puntos son vecinos si no hay otros puntos coloreados entre medio de ellos.)

Probar que ES IMPOSIBLE, despues de varios pasos, obtener nuevamente sólo dos puntos coloreados en la recta que sean uno rojo a la izquierda y uno azul a la derecha.

4. Hallar todas las funciones f definidas en los números reales que verifican: f(x-f(y)) = 1-x-y para todos x e y reales.

5. DEFINICIONES:

Si S es un conjunto, denotamos |S| a la cantidad de elementos de S y p(S) a la cantidad de subconjuntos de S, contando entre ellos a S y al vacío {}.

Con estas definiciones, se sabe que p(S)=2 ^|S|.
Sean A, B y C conjuntos tales que

p(A) + p (B) + p(C) = p(A U B U C) y |A|=|B|=100.

Hallar el mínimo valor posible de |A B C|. Justificar.

6. Sea p un número primo, p>3. Probar que si existe un entero a tal que p|(a²-a+3), entonces existe un entero b tal que p|(b²-b+25).

Archivo de Enunciados Página Principal	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar