IX Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Fortaleza, Brasil - 1994

Primer día

1. Se dice que un número natural n es "sensato" si existe un entero r, con 1<r<n-1, tal que la representación de n en base r tiene todas sus cifras iguales. Por ejemplo, 62 y 15 son sensatos, ya que 62 es 222 en base 5 y 15 es 33 en base 4.

Demostrar que 1993 NO es sensato pero 1994 sí lo es.

2. Sea un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, cuyos vértices se denotan consecutivamente por A, B, C y D. Se supone que existe una semicircunferencia con centro en AB, tangente a los otros tres lados del cuadrilátero.

  1. Demostrar que AB=AD+BC
  2. Calcular, en función de x=AB e y=CD, el área máxima que puede alcanzar un cuadrilátero que satisface las condiciones del enunciado.

3. En cada casilla de un tablero de n x n hay una lámpara. Al ser tocada una lámpara cambian de estado ella misma y todas las lámparas situadas en la fila y la columna que ella determina (las que están encendidas se apagan y las apagadas se encienden). Inicialmente todas están apagadas. Demostrar que siempre es posible, con una sucesión adecuada de toques, que todo el tablero quede encendido y encontrar, en función de n, el número mínimo de toques para que se enciendan todas las lámparas.

Segundo día

4. Se dan los puntos A, B y C sobre una circunferencia K de manera que el triángulo ABC es acutángulo. Sea P un punto interior a K. Se trazan las rectas AP, BP y CP, que cortan de nuevo a la circunferencia en X, Y y Z. Determinar el punto P para que el triángulo XYZ sea equilátero.

5. Sean n y r dos enteros positivos. Se desea construir r subconjuntos A1, A2,... ,Ar de {0,1,... ,n-1} cada uno de ellos con k elementos exactamente y tales que, para cada entero x, 0<= x<= n-1, existen x1 en A1,x2 en A2,... ,xr en Ar (un elemento en cada conjunto) con

x = x1+x2+... +xr.

Hallar el menor valor posible de k en función de n y r.

6. Demostrar que todo número natural n<= 21.000.000 puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1.100.000 sumas; más precisamente, hay una sucesión finita de números naturales

x0, x1, ... , xk con k <= 1.100.000, x0=1, xk=n,

tal que para cada i=1,2,... ,k, existen r, s, con 0<=r < i, 0<= s, i y xi=xr+xs.

 


Archivo de Enunciados Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   
www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar

 

duty free alcohol usa duty free cigarettes rules duty free cuban cigars buying cosmetics duty free duty free perfumes online buy tobacco online canada
duty free alcohol airport duty free cig duty free cigars uk buy cosmetics usa buy duty free perfumes where to buy duty free tobacco