XVII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal

17 de agosto de 2000

 

primer nivel

1

La distancia de Liniers a Luján es de 60 km. Juani e Inés caminan desde Liniers hasta Luján a velocidad constante de 5km/h. Cada 10 minutos sale un tren de Liniers a Luján, que viaja a velocidad constante de 80km/h. ¿Cuántos trenes que viajan de Liniers a Luján ven pasar Juani e Inés durante su caminata si salen de Liniers al mismo tiempo que sale un tren?

2

Sean ABC un triángulo tal que AB = 6, BC = 9, CA = 4, y M, N, P los puntos medios de los lados AB, BC, CA respectivamente. Sobre la prolongación de NP se considera E tal que EP = PN. Sobre la prolongación de CM se considera D tal que DM = CM. Hallar la longitud del segmento DE. NO VALE MEDIR.

3

De los números naturales A y B se sabe que B = (A2 - 1) / 8 y que el mínimo común múltiplo entre A y B es igual a 3720. Hallar A y B.

 

segundo nivel

1

Sean ABCD un rectángulo de lados AB = CD = 37 y BC = DA = 10, y P el punto del lado AB tal que AP = 13. La paralela a PC trazada por A intersecta al lado CD en R. Sean Q en PC y S en AR tales que el cuadrilátero PQRS es un rectángulo. Hallar el área de PQRS.

2

Dos ciclistas recorren a velocidades constantes el camino entre A y B. Los dos salen al mismo tiempo. Uno sale de A, llega a B y de inmediato regresa a A. El otro, sale de B, llega a A y de inmediato regresa a B. Durante el viaje, se cruzan dos veces: la primera a 9km de A, y una hora más tarde se cruzan por segunda vez a 7km de B. Determinar las velocidades de cada uno de los ciclistas.

3

Utilizando sólo los dígitos 0 y 1, Iván escribe una lista de 101 dígitos, de acuerdo con las siguientes reglas: elige los seis primeros con la única condición de que no sean todos iguales a 0. A partir de ahí, para agregar cada dígito nuevo, calcula la suma de los últimos seis dígitos escritos. Si esta suma es múltiplo de 3, escribe 0, y si la suma no es múltiplo de 3, escribe 1. Determinar cuál es el menor valor posible de la suma de los 101 dígitos que escribe Iván.

 

 

tercer nivel

1

Hallar todas las ternas x, y, z de números reales que satisfacen el sistema

x (x + y + z) = 26

y (x + y + z) = 27

z (x + y + z) = 28

2

Diremos que un entero mayor que 1 es admisible si cada uno d elos resultados de multplicar dos divisores del número (postivios y distintos) es mayor que 1/5 del número. Por ejemplo, 6 es admisible porque sus divisores son 1, 2, 3 y 6, y los productos 1 . 2 = 2, 1 . 3 = 3, 1 . 6 = 6 y 3 . 6 = 18 son todos mayores que 6 / 5. Determinar todos los enteros positivos admisibles.

3

Sean ABCD un trapecio de bases AB = 40 y CD = 30 tal que el lado BC es perpendicular a AB y BC = 35. Denotamos P al punto medio de DA, y trazamos por P la perpendicular a DA que corta al lado BC en Q. Calcular el área del cuadrilátero BAPQ.

 

 


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