20º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial

2003

Primer nivel

1. Hay que escribir los números del 1 al 9, uno en cada casilla y sin repeticiones, de modo que la suma de los tres números de cada una de las 4 líneas sea la misma. Ya se escribieron el 6 y el 9. Ubicar los demás números.

2. En la tienda El Ofertón, el precio de cada artículo es una cantidad entera de pesos con 99 centavos (el precio más bajo es $0,99). Doña Rosa realizó una compra por un total de $125,74. ¿Cuántos artículos compró? Dar todas las posibilidades.

3. Se trazan 5 rectas horizontales, cada una a 1 cm de distancia de la anterior, y 6 rectas verticales, cada una a 1 cm de distancia de la anterior. Estas 11 rectas determinan 30 puntos. Sea A el punto de la quinta fila, primera columna (es decir, el de la esquina inferior izquierda), B el punto de la primera fila, sexta columna (o sea, el de la esquina superior derecha) y C el punto de la segunda fila, quinta columna. Calcular el área del triángulo ABC.

NO VALE MEDIR.

Segundo Nivel

1. El número de dos cifras x7 multiplicado por el número de dos cifras y9 es igual al número de cuatro cifras zz33. Dar los posibles valores de los dígitos x, y, z.

2. Un atleta se entrena en una pista de 3 kilómetros. Hace el primer kilómetro caminando, el segundo corriendo y el tercero en bicicleta. Si hubiera hecho los 3 km en bicicleta hubiese tardado 10 minutos menos de los que tardó.

Nuestro atleta corre al doble de la velocidad que camina, y anda en bicicleta al triple de la velocidad que camina. Calcular cuánto tarda en correr un kilómetro.

3. Sea ABCD un cuadrilátero de lados AB, BC, CD y DA, tal que AB=AC, AD=BD y . Calcular la medida del ángulo .

Tercer Nivel

1. Un cuadrado con lados de longitud entera está dividido en 89 cuadrados más pequeños, 88 de ellos de lado 1 y el restante de lado de longitud entera, mayor que 1. Hallar los posibles valores del lado del cuadrado inicial.

2. En cada casilla de un tablero de 100´100 hay escrito un número. En la primera fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los enteros desde 1 hasta 100, en la segunda fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los múltiplos de 2, desde 2 hasta 200; en la tercera fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los múltiplos de 3, desde 3 hasta 300; y así siguiendo, en la fila k están los múltiplos de k desde k hasta 100k. Consideramos la diagonal del tablero que une la esquina inferior izquierda con la esquina superior derecha. Determinar cual es el mayor de todos los números escritos en las casillas de esta diagonal.

3. Sea ABCD un rectángulo de lados AB=CD=10 y BC=DA=15. Designamos M al punto medio de AB y P al punto del lado BC tal que PC=5. Se traza por P la perpendicular a DM que corta a DM en Q. Calcular la medida del segmento PQ.

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