20º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal

7 de agosto de 2003

 

Primer nivel

1

En una circunferencia están marcados, en sentido horario, los puntos A, B, C, D, E y F, de modo que ABCDEF es un hexágono regular. En la misma circunferencia, a partir del punto A se marcan, en sentido horario, los puntos P, Q, R y S, de modo que APQRS es un pentágono regular.
Calcular la medida del ángulo BÂP.

2

En el pizarrón estaban escritos todos los números naturales de cuatro cifras que son simultáneamente múltiplos de 9 y de 15. Julián borró los que son múltiplos de 25.
Hallar cuántos números quedaron escritos en el pizarrón.

3

Se tienen cuatro objetos a, b, c y d, que pesan, en conjunto, 303kg. Se sabe que a pesa 10kg más que c, y d pesa 5kg más que b. Además, el más pesado de los cuatro objetos más el más liviano pesan, en conjunto, 3kg menos que los otros dos objetos juntos.
Hallar el peso de cada uno de los cuatro objetos.

 

Segundo Nivel

1

Con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6 se forman todos los posibles números de cinco cifras distintas. Hallar cuántos de ellos son múltiplos de 11.

2

Del hexágono ABCDEF se conocen las longitudes de cuatro de sus lados: AB = 6, BC = 4, CD = 8 y DE = 9. Además cada uno de sus seis ángulos interiores mide 120º.
Hallar las longitudes de los lados EF y FA.

3

Verónica compró varios litros de gaseosa.
Si cada litro costase 20 centavos menos, con exactamente el mismo dinero podría haber comprado 5 litros más de los que compró. En cambio, si cada litro costase 20 centavos más, con exactamente el mismo dinero podría haber comprado 3 litros menos de los que compró.
Calcular cuántos litros compró.

 

Tercer Nivel

1

Lucas lee un cuento que tiene sus páginas numeradas del 22 al 145 y advierte que la suma de los números de las páginas que ya leyó es igual a la suma de los números de las páginas que le falta leer.
Calcular cuál es el número de la página que está leyendo.
ACLARACIÓN: La página que está leyendo no se cuenta entre las que ya leyó ni entre las que le falta leer.

2

Del conjunto de 24 números:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24}
se debe tachar la menor cantidad posible de números de modo tal que al multiplicar todos los que queden sin tachar se obtenga un cubo perfecto. Determinar cuáles son los números que se debe tachar.
ACLARACIÓN: Se denominan cubos perfectos a los enteros que se obtienen al elevar un entero al cubo.

3

En el cuadrado ABCD de lados AB = BC = CD = DA = 10 sean M y N los puntos medios de AB y BC respectivamente.
Si AN y DM se cortan en Q, calcular:

área(AQM) + área(DQN).

 

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