22º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal

11 de agosto de 2005

1. Se escriben los números enteros positivos desde 1 hasta 1000, uno a continuación del otro, sin espacios intermedios. Queda así una larga secuencia de dígitos (el primero es 1 y el último es 0):

123456789101112...9989991000.

Determinar cuántos dígitos se han escrito hasta que se escriben por primera vez tres 9 seguidos.

2. Nico viaja de A hacia B y, por la misma ruta rectilínea, Gonzalo viaja de B hacia A. Salen a la misma hora y los dos van a velocidades constantes. Cuando se cruzan, la distancia recorrida por Nico es igual a la distancia recorrida por Gonzalo más  de la distancia entre A y B. Desde que se cruzan hasta llegar a B Nico tardó 9 minutos. Calcular cuánto tiempo utilizó Gonzalo para ir desde B hasta A.

Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD y lados no paralelos BC y AD, tal que  y . Se traza la bisectriz del ángulo  que corta a la base AB en E. Se sabe que AD=12 y BE=15. Calcular las medidas de las bases del trapecio.

SEGUNDO NIVEL

1. Una hoja rectangular de 120 x 144 cuadriculada en cuadritos de 1 x 1 se corta en dos triángulos mediante un corte rectilíneo a lo largo de una diagonal. Determinar el número de cuadritos de 1 x 1 que quedaron divididos por este corte.

ACLARACIÓN: Un cuadrito de 1 x 1 queda dividido por el corte si tiene una parte en cada uno de los dos triángulos en que se dividió la hoja.

2. La figura muestra 5 balanzas con objetos y los pesos totales en cada balanza:

110 g          80 g          140 g        130 g        100 g

Una de las balanzas funciona mal y las otras 4 indican el peso correcto. Determinar cuál es la balanza que funciona mal y hallar los pesos de cada objeto ©, ¨ y ª.

ACLARACIÓN: Todos los © son de igual peso, y lo mismo ocurre con todos los ¨ y todos los ª.

 3. En un cuadrado ABCD de lados AB=BC=CD=DA=14 se considera un punto E en el lado AD. La perpendicular a CE trazada por C corta a la prolongación del lado AB en F. Si se sabe que el área del triángulo CEF es 116, calcular el área del triángulo AEF. 

TERCER NIVEL

1. Gabriel escribe una lista de 200 números de acuerdo con la siguiente regla: el primer número es 2005, el segundo es 1, y a partir de allí, en cada paso escribe la resta del último número ya escrito menos el penúltimo número escrito más 5. Por ejemplo, el tercer número es -1999, pues 1-2005+5=-1999.
Calcular la suma de los 200 números de la lista de Gabriel.

2. Hallar todos los enteros positivos a y b tales que  y

3. Al plegar una hoja rectangular se obtuvo un rectángulo de 9´12, como muestra la figura.

Calcular las dimensiones de la hoja antes de plegarse.

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