XIII Certamen el Número de Oro. 2005
Profesores de enseñanza media.

 

Si m, n y p son primos mayores que 3 que forman una progresión aritmética de razón r, pruebe que 6 divide a r.

2  Indique cómo construir con regla y compás el cuadrilátero ABCD del que se conoce la longitud de los cuatro lados y el segmento que une los puntos medios de los lados opuestos DA y BC.

3 El polinomio de grado con coeficientes enteros tiene al menos una raíz entera. Pruebe que P(0) ó P(1) es par.

4  ¿Cuál es el menor n tal que al lanzar n veces 2 dados equilibrados, la probabilidad de que salga un doble 6 es mayor que la del suceso contrario?

5 Dados 7 puntos en un círculo de radio r tales que la distancia entre dos cualesquiera de ellos es mayor o igual que r. ¿Cuáles son las posibles distribuciones de los puntos?

6  Sea P un paralelepípedo rectángulo de lados a, b y c de longitudes números naturales tales que c mide igual a la diagonal del rectángulo de lados a y b. Pruebe que el  volumen de P es múltiplo de 60.

7   Pruebe que la hipérbola de  tiene infinitos puntos de coordenadas enteras.

8 Halle todos los primos p para los cuales el período primitivo del desarrollo decimal de tiene longitud 6.

  Sea la función f definida para los pares de enteros no negativos por

Determine  y .

10   ABCDE es una pirámide recta de base un cuadrado de lado a y de altura h. ¿Cuál es la relación  para que el área lateral de la pirámide ( la suma de las áreas de las cuatro caras triangulares) sea igual al área lateral del cubo de lado h?   

 

 

XII Certamen el Número de Oro. 2005
Alumnos del Profesorado

 

1  Pruebe que si a es un número natural, , entonces es irracional.

Dado el paralelogramo ABCD de área 1 y los puntos medios E, F, G y H de sus lados, calcule el  área del octógono cuyos vértices están determinados por las intersecciones de los segmentos que unen cada punto medio con los extremos del lado opuesto del paralelogramo.

3  Los ingenieros de una fábrica de robótica y aprovechando que ésta se encuentra sobre un camino rectilíneo, planificaron el siguiente experimento. A partir del mojón 0, dispusieron mojones numerados situados a 0,5m de distancia entre dos consecutivos. A partir del mojón 10235 un robot avanza 3 mojones y retrocede 8. En el paso siguiente avanza 6 mojones y retrocede 16. Reitera el procedimiento de duplicar el avance y el retroceso en cada paso. Al cabo de n pasos volvió al mojón 0. ¿Cuántos metros caminó el robot?

4  ¿Cuál es el menor n tal que al lanzar n veces 2 dados equilibrados, la probabilidad de que salga un doble 6 es mayor que la del suceso contrario?

5  ¿Es el número real  un número entero?

¿Cuál es el máximo del subconjunto de números reales ? ( N es el conjunto de números naturales).

7 Analice el número de soluciones reales del siguiente sistema de ecuaciones, donde a es un número real:

      

El triángulo ABC es rectángulo en A y BPQC, ACDE y ANMB son cuadrados construidos sobre los lados BC, CA y AB respectivamente y hacia el exterior del triángulo. El segmento AH , H perteneciente al lado PQ, es perpendicular a la  hipotenusa BC. Pruebe que los segmentos CM, AH y BD se cortan en un punto situado en el interior del triángulo.

9    Sea la función f definida para los pares de enteros no negativos por
       

        Determine  y .

 

10  ABCDE es una pirámide recta de base un cuadrado de lado a y de altura h. ¿Cuál es la relación  para que el área lateral de la pirámide ( la suma de las áreas de las cuatro caras triangulares) sea igual al área lateral del cubo de lado h?

 


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