Otoño del Hemisferio Norte (30 de Octubre de 1997)

1 (3 puntos)

La sucesión x_n está definida por las siguientes condiciones:

Demostrar que hay un término de esta sucesión que es igual a 0. Hallar el subíndice de dicho término.

2 (3 puntos)

Sea M el punto medio del lado BC del triángulo ABC. Construir la recta l paralela a BC y que intersecta al triángulo de modo tal que el segmento de l comprendido entre los lados AC y AB es hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo tercer vértice es M.

3 (6 puntos)

Inicialmente hay una ficha en cada casilla de un tablero de 1x n. El primer movimiento consiste en elegir una casilla y mover la ficha de esa casilla a una casilla adyacente (a derecha o a izquierda si la casilla elegida no está junto al borde del tablero y a la única adyacente si la ficha está en uno de los bordes); de este modo se crea una pila de dos fichas. Cada movimiento subsecuente consiste en elegir una casilla y mover la pila de fichas que está en esa casilla en cualquier dirección, tantas casillas como fichas tenga la pila que se está moviendo (la pila puede tener un sola ficha); si la pila elegida termina su movimiento en una casilla que ya está ocupada, se la coloca sobre la pila que ocupa esa casilla, formando una nueva pila, más alta.
Mientras dura una movida, se avanza en una sola dirección, por lo tanto la cantidad de fichas de la pila de la casilla elegida debe ser menor o igual que la distancia de esa casilla al borde más lejano del tablero.
Demostrar que es posible llegar a tener una sola pila con todas las fichas en n-1 movidas.

4 (5 puntos)

Dos circunferencias se intersectan en los puntos A y B. Una recta tangente común toca la primera circunferencia en el punto C y la segunda en el punto D. El punto B está más próximo a la recta CD que al punto A. La recta CB intersecta nuevamente a la segunda circunferencia en el punto E. Demostrar que AD es bisectriz del ángulo CAE.

5 (8 puntos)

Se dispone de un tablero de ajedrez de 8x8 y de un cubo cuyas caras tienen exactamente el mismo tamaño que las casillas del tablero. Se desarrolla el siguiente proceso:
Se pintan las caras del cubo, algunas de blanco y otras de negro y se apoya el cubo sobre una casilla del tablero . A partir de esta posición se gira el cubo sobre una casilla del tablero. A partir de esta posición se gira el cubo sobre una arista, volcándolo, para quedar apoyado en una casilla vecina y así sucesivamente hasta visitar exactamente una vez cada casilla del tablero.
¿Puede hacerse el proceso de modo tal que siempre el color de la casilla que el cubo esté visitando coincida con el color de la cara que en ese momento está en la base del cubo, apoyándose sobre el tablero.

6 (9 puntos)

Se divide cada lado de un triángulo equilátero en 10 segmentos iguales y se trazan paralelas a los lados del triángulo por cada punto de la subdivisión , de modo que el triángulo quede dividido en 100 triangulitos iguales, que llamaremos celdas. Las celdas que quedan comprendidas entre dos rectas paralelas adyacentes forman una franja (Notar que hay franjas en tres orientaciones distintas). ¿Cuál es el número máximo de celdas que se puede elegir de modo tal que no haya entre las elegidas dos celdas que estén en una misma franja, en cualquiera de las tres posibles orientaciones?

1 (4 puntos)

Sean CM y BN medianas del triángulo ABC. Se eligen puntos P y Q en los lados AB y AC, respectivamente, tales que la bisectriz del ángulo C del triángulo ABC sea también bisectriz del ángulo NBQ. Si al hacer esto resulta que AP=AQ, ¿puede deducirse que ABC es isósceles?

2

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

1. Si un polígono se puede dividir en dos polígonos iguales mediante una línea quebrada, entonces se puede dividir en dos polígonos iguales mediante un segmento de recta.
   (1 punto)
2. Si un polígono convexo se puede dividir en dos polígonos iguales mediante una línea quebrada, entonces se puede dividir en dos polígonos iguales mediante un segmento de recta.
   (2 puntos)

3

Se consideran todas las combinaciones posibles de expresiones de la forma

variando los signos "+" y "-" y luego se multiplican entre si todas las expresiones.

1. Demostrar que el resultado es un número entero.
   (3 puntos)

2. Demostrar que el resultado es el cuadrado de un número entero.
   (3 puntos)

4

1. Varias servilletas con forma de hexágonos regulares e idénticas entre sí están distribuidas en una mesa (puede haber solapamientos). Cada servilleta tiene un lado que es paralelo a una recta fija. ¿Es siempre posible clavar algunos alfileres en la mesa de modo tal que todas las servilletas queden clavadas a la mesa y cada servilleta esté atravesada por un solo alfiler?
   (4 puntos)
2. La misma pregunta que en a. pero con servilletas con forma de pentágonos regulares.
   (4 puntos)

5 (8 puntos)

El superagente Truchof inventó un código secreto en el que cada letra se reemplaza por una palabra de a lo sumo 10 letras. Un código se dice bueno si cada palabra codificada se puede decodificar de una sola manera. El espía Sigilof, con la ayuda de una computadora, verificó que con el código de Truchof toda palabra posible con a lo sumo 1000 letras se puede decodificar de una sola manera. ¿Se deduce de esto que el código de Truchof es bueno?
ACLARACIÓN IMPORTANTE: Por favor, notar que Truchof y Sigilof son rusos, así que usan el alfabeto cirílico que tiene 33 caracteres. Una palabra es una secuencia de letras, no importa si tiene o no sentido.

6

Se divide cada lado de un triángulo equilátero en n segmentos iguales y se trazan paralelas a los lados del triángulo por cada punto de la subdivisión, de modo que el triángulo queda dividido en n² triangulitos iguales, que llamaremos celdas. Las celdas que quedan comprendidas entre dos rectas paralelas adyacentes forman una franja (Notar que hay franjas en tres orientaciones distintas).

1. Si n=10, ¿cuál es el número máximo de celdas que se puede elegir de modo tal que no haya entre las elegidas dos celdas que estén en una misma franja, en cualquiera de las tres posibles orientaciones?
   (7 puntos)
2. La misma pregunta para n=9.
   (7 puntos)

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