y
son
los puntos medios de BC y AB, respectivamente. Las perpendiculares
desde a
CP y desde a
AP se cortan en el punto K. Demostrar que las distancias desde
K a A y a C son iguales.8 PUNTOS
XXXII Torneo Internacional de las Ciudades
Otoño del Hemisferio Norte - octubre de 2010
| nivel juvenil |
1. Son dados una recta
del plano y una moneda redonda. Construya dos puntos tales que la recta que los
une sea perpendicular a la dada. Hay dos operaciones permitidas: 1) marcar un
punto, poner la moneda de manera que este punto esté en su borde, y encircularla;
2) marcar dos puntos (a distancia menor que el diámetro de la moneda), poner la
moneda de manera que estos puntos estén en su borde y encircularla. Es imposible
poner la moneda de modo tal que la moneda sea tangente a la recta.
4 PUNTOS
2.
Pete puede marcar un punto en un segmento arbitrario de una recta de modo que el
punto divida el segmento por la mitad o lo divida en la razón n : (n
+ 1), donde n es cualquier entero positivo. Pete afirma que esto le
permite marcar un punto de un segmento arbitrario de manera que el punto divida
al segmento en cualquier razón racional dada. ¿Es cierto lo que dice
Pete?
5 PUNTOS
3.
Alrededor de una pista circular 10 ciclistas salen de un mismo punto, a la misma
hora, en la misma dirección y con velocidades constantes aunque distintas. Si
dos ciclistas se encuentran en un punto al mismo tiempo, diremos que se
encuentran. Hasta el mediodía, cada dos ciclistas se encontraron al menos una
vez, y no hay tres o más de ellos que se encontraron al mismo tiempo. Demostrar
que cada ciclista tuvo al menos 25 encuentros hasta el mediodía.
8 PUNTOS
4. Un rectángulo se ha dividido en dominós de 2 x 1. En cada dominó se dibujó una diagonal, y no hay dos diagonales con extremos en común. Demostrar que exactamente dos esquinas del rectángulo son extremos de diagonales de dominós.
8 PUNTOS
5.
Dado un pentágono, para cada
lado se divide su longitud por la longitud total de todos los otros lados y se
suman todas las fracciones obtenidas. Demostrar que la suma es menor que 2.
8 PUNTOS
6. En
un triángulo acutángulo ABC, sea P un punto de la altura BH.
Los puntos y
son
los puntos medios de BC y AB, respectivamente. Las perpendiculares
desde a
CP y desde a
AP se cortan en el punto K. Demostrar que las distancias desde
K a A y a C son iguales.
8 PUNTOS
7.
Alrededor de una mesa redonda N caballeros realizan sus reuniones
diarias. Cada día el mago Merlín los sienta en un nuevo orden. Desde el segundo
día, Merlín permite que durante la reunión los caballeros cambien sus asientos
repetidamente de la siguiente manera: cualquier par de vecinos pueden
intercambiar sus asientos si no fueron vecinos el primer día. Los caballeros
tratan de sentarse en algún orden que ya ha ocurrido algún día anterior: en tal
caso las reuniones se detienen. ¿Cuál es el máximo número de días para los que
Merlín puede garantizar que las reuniones no se van a detener? (Dos
disposiciones se consideran iguales si una se obtiene de la otra mediante una
rotación alrededor de la mesa. Merlín no se sienta en la
mesa.)
12 PUNTOS
| nivel mayor |
1. En cierto país hay 100 pueblos (considérelos
como puntos del plano). Hay un libro que, para cada par de pueblos, contiene el
registro de la distancia entre ellos (un total de 4950 registros).
a) Un registro se ha borrado. ¿Es posible restablecerlo usando los otros registros?
2 PUNTOS
b) Supongamos que k registros se han borrado y que no hay tres pueblos en una misma línea. ¿Cuál es el máximo k tal que está garantizada la recuperación de los registros borrados?
3 PUNTOS
2.
Alrededor de una pista circular 2N ciclistas salen de un mismo punto, a
la misma hora, en la misma dirección y con velocidades constantes aunque
distintas. Si dos ciclistas se encuentran en un punto al mismo tiempo, diremos
que se encuentran. Hasta el mediodía, cada dos ciclistas se encontraron al menos
una vez, y no hay tres o más de ellos que se encontraron al mismo tiempo.
Demostrar que cada ciclista tuvo al menos N 2 encuentros hasta
el mediodía.
6 PUNTOS
3. Dado un polígono, para cada lado se divide su longitud por la longitud total de todos los otros lados y se suman todas las fracciones obtenidas. Demostrar que la suma es menor que 2.
6 PUNTOS
4. Dos magos están involucrados en un duelo. Al comienzo los dos están volando sobre el mar a altura 100. A continuación los magos anuncian hechizos por turnos, y cada hechizo es de la forma “disminuya mi altura en a y la de mi rival en b” donde a, b son números reales (diferentes para hechizos diferentes) tales que 0 < a < b. El conjunto de hechizos es el mismo para los dos magos, y cada mago puede anunciar un mismo hechizo muchas veces. Un mago gana si luego de algún hechizo él está a una altura positiva sobre el mar y su rival, no. ¿Existe un conjunto de hechizos tal que el segundo mago tiene una manera garantizada de ganar (para cualquier acción del primero) y el número de hechizos es
a) finito, 2 PUNTOS
b) infinito? 5 PUNTOS
5. El cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia de centro O de modo que las diagonales del cuadrilátero no pasan por el punto O. El circuncentro del triángulo AOC pertenece a la recta BD. Demostrar que el circuncentro del triángulo BOD pertenece a la recta AC.
8 PUNTOS
6.
Cada casilla del tablero de 1000 x 1000
contiene un cero o un uno. Demostrar que uno puede retirar 990 filas de modo que
en cada columna quede al menos un uno o puede retirar 990 columnas de modo que
en cada fila quede al menos un cero.
12 PUNTOS
7.
El cuadrado ABCD se divide en rectángulos iguales, con lados de
longitudes enteras. La figura F es la unión de los rectángulos que tienen
puntos en común con la diagonal AC. Demostrar que AC divide el
área de F en dos partes iguales.
ACLARACIÓN: Si un rectángulo tiene sólo un vértice en común con AC
entonces NO pertenece a F.
14 PUNTOS