Introducción
Es costumbre comenzar el estudio de problemas de optimización junto con el estudio de derivadas. Sin embargo, es posible tratar problemas interesantes de máximos y mínimos con métodos más elementales, al alcance de los alumnos del ultimo ciclo de la E.G.B. o comienzo del Polimodal. Para quienes seguirán el Polimodal, estos temas resultan una buena introducción a los problemas que se resolverán después con técnicas de derivadas, a la vez que podrán comparar las bondades de cada técnica. Para quienes no seguirán el Polimodal, ¡puede ser la única oportunidad de ver problemas de este tipo!
La idea de incorporar estos temas en la enseñanza no es nueva. Entre nosotros por ejemplo, L. A. Santaló lo ha propuesto en su libro La enseñanza de la matemática en la escuela media (Docencia, Buenos Aires, 1986, págs. 66-69)1.
Algunos problemas típicos a los que nos referimos son las desigualdades isoperimétricas elementales, como por ejemplo: "Entre todos los triángulos de perímetro dado, el equilátero es el que tiene mayor área", o "Entre todos los polígonos de n lados inscriptos en una circunferencia, el n-ágono regular es el que tiene mayor área".
El propósito de estas notas es presentar algunos de estos problemas y algunas técnicas que pueden emplearse en su resolución, aprovechando la experiencia obtenida en los cursos de "Máximos y mínimos sin derivadas", dados en la OMA. A modo de "precalentamiento", invitamos al lector a resolver los siguientes problemas usando sólo argumentos geométricos:
- Problema 1: Entre todos los triángulos rectángulos con hipotenusa dada, ¿cuál tiene mayor área?
- Problema 2: Entre todos los triángulos inscriptos en una circunferencia y con base dada, ¿cuál tiene mayor área?
- Problema 3: Entre todos los triángulos de base y perímetro dados, ¿cuál tiene mayor área?
- Problema 4: Entre todos los triángulos con dos lados de longitud dada y el tercero de cualquier longitud, ¿cual es el de mayor área?
- Problema 5: Entre todos los triángulos con base y altura dadas (en particular tienen todos la misma área), ¿cuál es el que tiene menor perímetro? ¿Y mayor?
1 Desde ya, recomendamos al lector interesado en la enseñanza de matemáticas que consulte ese libro: son perlas tras perlas, exhibidas con la sencillez de quien conoce profundamente el tema.
