parábola Apuntes sobre la Parábola:
Su medición según Arquímedes y otras propiedades

Introducción

Muchas veces habrán oído que Arquímedes fue el precursor del cálculo matemático, afirmación basada en que, hacia el año 240 A.C., obtuvo la medición de cualquier segmento parabólico.

Aunque este resultado marca un hito fundamental en el desarrollo de las matemáticas, la afirmación de que Arquímedes fue iel inventor del cálculo es un tanto temeraria. Según él mismo, este desarrollo suyo se apoya en lo hecho por los antiguos griegos, refiriéndose muy posiblemente a los desarrollos que condujeron a los libros de Euclides, alrededor de 200 años A.C.. Recordemos, por ejemplo, que en estos libros se presenta el método de exhaución para la medición del círculo. Por supuesto, Arquímedes vivía en Sicilia, Italia, lugar en donde la cultura griega era bien conocida.

¿Cómo hizo Arquímedes para medir el segmento parabólico, si no disponía de coordenadas cartesianas, y por lo tanto tampoco de funciones para integrar?. La respuesta es que él tenía un conocimiento profundo de las propiedades de la parábola y, claro, una inteligencia superior.

En estas notas nos proponemos estudiar algunas de las propiedades de la parábola, a partir de su definición, y llegar a la reconstrucción de la medición de un segmento parabólico según Arquímedes. Usaremos las herramientas de las que disponía Arquímedes, es decir no usaremos construcciones basadas en geometría analítica o integrales, sino que usaremos esencialmente la regla y el compás. Terminaremos con otros resultados interesantes, algunos muy sencillos, otros no tanto, y comparando con las herramientas más nuevas como geometría analítica y cálculo. En el transcurso iremos dejando preguntas y problemas para el lector inquieto, pero (¡atención remolones!) no son decisivos para la obtención de los resultados principales.

Una manera muy interesante de trabajar con este material es usar software como Cabri Géomètre, ya que permite mover los objetos básicos destacando las propiedades subyacentes en las figuras geométricas. No obstante, las figuras que aquí presentamos están hechas con el software Mathematica 2.

Pero empecemos por el principio...

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