Los MateClubes
Olimpíada Matemática Argentina

Ideas para los problemas de la
Primera Competencia de MateClubes - Primera Ronda

Vamos a darles algunas ideas que les pueden servir para resolver los problemas de la primera ronda.

Cualquier duda que tengan, no duden en escribirnos a mateclubes@oma.org.ar

En el primer problema de los tres niveles, se pedía calcular las dos últimas cifras de

• 7 x 7 x 7 x ... x 7 (100 veces) en primer nivel
• 11 x 11 x 11 x ... x 11 (100 veces) en segundo nivel
• 2 x 2 x 2 x ... x 2 (1000 veces) en el tercer nivel

Los problemas son similares aunque cada vez más difíciles. En todos se podía ir calculándo de a poco y buscar alguna repetición, algún ciclo.

Por ejemplo, si en el de primer nivel hacemos una lista de los primeros números que va calculando, obtenemos:

7
7 x 7 = 49
7 x 7 x 7 = 343
7 x 7 x 7 x 7 = 2401
7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 16.807
7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 117.649
7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 823.543
7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 5.764.801
7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 40.353.607

Y vemos que las dos últimas cifras se repiten cada cuatro números.

Usando esto traten de calcular lo que pedía el problema.

En todos los niveles pasa lo mismo, que las cifras se empiezan a repetir. Pero cada vez es más difícil encontrar esa repetición. ¡Busquenlas! (aunque no sean de su nivel, ahora pueden hacer todos)

Viendo las soluciones que nos mandaron, queremos hacer un comentario:

Si seguimos multiplicando, en el algún momento el resultado no va a entrar en la calculadora. Acá hay que parar, porque lo que empieza a aparecer no nos sirve.

En algunas calculadoras directamente aparece una E de error y no nos deja seguir.

Pero en otras aparecen unos numeritos chiquitos. Por ejemplo, en una calculadora cientifica de 10 dígitos, si hacemos

7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 (12 veces) aparece

6.782230728 ¹¹

Entender bien qué es ese 11 que aparece es difícil, pero si le sumamos uno a ese número obtenemos la cantidad verdadera de dígitos del número. Como el numero entero no entre, la calculadora solo muestra los diez primeros dígitos.

En el ejemplo, nos dice que el número tiene 12 dígitos y sólo nos muestra los primeros 10 dígitos (el punto que aparece podemos ignorarlo).

Entonces el resultado es 6782230728??, no sabemos las dos últimas cifras.

Como los que nos pide el problema son las dos últimas cifras, esto no sirve para nada. Entonces había que parar y buscar otra forma de hacer el problema.

En el segundo problema de cada nivel, lo primero era calcular los lados del cuerpo.

Por ejemplo, en primer nivel teníamos este paralelepípedo:

donde la superficie total era 250cm², la base era un cuadrado y la altura medía el doble que el lado del cuadrado.

Una idea es dividir las caras en cuadrados iguales:

Vemos que hay 10 cuadrados. Como la superficie de todos los cuadrados juntos es 250cm², cada cuadrado tiene área 250cm² / 10 = 25cm².

Entonces el lado del cuadrado es 5cm.

Obtenemos las siguientes medidas:

Ahora se pedía calcular el volumen. Esto había muchos que no sabían lo que era. Como es la primera prueba que tomamos, algunos problemas quedaron muy difíciles. No fue nuestra intención y vamos a ir ajustando el nivel en las siguientes prueba. Pero ahora nos da una buena oportunidad para aprender sobre volúmenes.

Pensemos primero cuál es el área de un rectángulo de lados 5cm y 3cm. El área es 3cm x 5cm = 15cm².

Una manera de pensarlo es que un rectángulo de lados 5cm y 3cm entran 15 cuadraditos de 1cm de lado:

Con volúmes es lo mismo. Si nos preguntan cuál es el volumen de un paralelepípedo, podemos pensar ¿cuántos cubitos de lado 1 entran en el paralelepípedo?

Por ejemplo, ¿cuál es el volumen de un paralelepípedo de lados 2cm, 2cm y 1cm?

Lo podemos dividir en cubitos así:

entonces el volumen es de 4cm³.

(Un cubo de lados 1cm, 1cm y 1cm tiene volumen 1cm³)

Y ¿cuál será el volumen de un paralelepípedo como el de la figura de lados 2cm, 2cm y 3cm?

^{¡Piénsenlo antes de seguir leyendo!}

^{Podemos dividir la figura así:}

^{Si no nos mareamos, vemos que está dividida en 12 cubitos de lado 1cm. Entonces vemos que el volumen es de 12cm3.}

^{Acordate que los lados eran 2cm, 2cm y 3cm. Si no queríamos hacer el dibujo de arriba, ¿qué cuenta podíamos hacer para calcular el volumen?}

^{Juntando todo esto, traten de hacer los problemas de la prueba. Pueden mirar los de los otros niveles, que son parecidos.}

^{En el tercer problema de los tres niveles, había que hacer algunas cuentas de velocidades.}

^{Veamos, por ejemplo, el problema de 2do nivel:}

Rafa, Mario y Betty viven sobre la misma calle. Entre la casa de Rafa y la de Mario hay 700m. La casa de Betty está en el medio, a 500m de la casa de Rafa.

Los tres deciden encontrarse para resolver unos problemas. Todos salen de sus casas a la 6.00hs. Rafa camina a 9km/h en dirección a la casa de Betty y Betty camina hacia la casa de Rafa a 6km/h. ¿A qué velocidad debe ir Mario para para que los tres se encuentren a la misma hora?

^{Entendamos primero el tema de las velocidades:}

^{Rafa camina a 9km por hora. Esto quiere decir que en 1 hora va a recorrer 9km.}

^{Nos interesa calcular cuántos metros hace en 1 minuto.}

^{Tenemos que Rafa hace 9000m en una hora.}

^{Como una hora tiene 60 minutos, Rafa hace 9000m/60 = 150m en un minuto}

^{Betty camina a 6km/h. Entonces hace 6000m / 60 = 100m en un minuto.}

^{En 2 minutos, Betty hace 200m y Rafa hace 300m. Como la distancia que había entre ellos era de 500m y salieron a las 6.00hs, vemos que se encuentran a las 6.02hs}

^{Ahora que tenemos esto, podemos calcular a qué velocidad debe ir Mario.}

^{Intenten hacerlo. También intentes los problemas de los otros niveles, que son parecidos.}

^{¡Suerte! Y cualquier cosa, escríbannos a mateclubes@oma.org.ar}

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