23ª Competencia de MateClubes 2020
Ronda Final - Nivel Preolímpico

• La prueba dura 2 horas.
• Se puede usar calculadora. No se pueden consultar libros ni apuntes ni archivos de la computadora.
• No puede usarse ningún programa de la computadora para resolver los problemas.
• Los problemas deben ser resueltos por los alumnos participantes de cada club. No pueden consultar con otros clubes ni recibir ayuda de profesores o miembros adherentes (excepto en cuestiones informáticas relacionadas con la recepción y el envío de las pruebas).
• Las soluciones que nosotros recibamos deben haber sido escritas por los alumnos de cada club. Los profesores, bajo ninguna circunstancia, pueden escribir, tipear o transcribir las soluciones de los alumnos.

1

Rafa quiere completar las casillas colocando un dígito del 1 al 9 en cada casilla sin repetir. Cada dígito puede ser mayor al dígito de la casilla a la izquierda o igual a la mitad de ese número.

Por ejemplo, si en la tercera casilla escribe el dígito 4, en la cuarta casilla puede escribir 2, 5, 6, 7, 8 o 9.

Al terminar de completar las casillas queda formado un número de 9 dígitos.

¿Cuál es el número más grande que puede escribir Rafa?

¿Por qué no puede obtener un número más grande?

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2

En el pizarrón está dibujado un tablero de 2×2. Inicialmente hay un cero escrito en cada una de las casillas.

Betty quiere cambiar los números del tablero. Sólo puede realizar la siguiente operación: elegir dos casillas vecinas (que comparten un lado) y sumarles 1 al número en cada una de esas dos casillas.

Puede realizar esta operación tantas veces como quiera.

(a) Luego de realizar varias veces esta operación, eligiendo cada vez dos casillas vecinas cualesquiera, obtiene el tablero que se ve en la figura. Uno de los números que obtuvo en el tablero está borrado.

¿Cuál puede ser el número borrado? ¿Hay otras posibilidades?

(b) ¿Puede obtener el siguiente tablero usando las operaciones permitidas?

Si es posible, ¿cómo puede hacerlo? Si no es posible, ¿por qué?

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3

Cuatro hormigas Seba, Tania, Uri y Vane se encuentran paradas en los puntos A, B, C y D de la figura. Seba en el vértice A, Tania en B, Uri en C y Vane en D.

Durante el día, cada hormiga se mueve del punto donde se encuentra a alguno de los otros 3 puntos, siguiendo los caminos marcados.

Al finalizar el día, cada hormiga está en alguno de los 3 puntos distintos al punto donde empezó. Por ejemplo, Seba puede moverse a B, C o D. Además las hormigas se ponen de acuerdo para que no haya dos hormigas que se muevan al mismo punto.

¿Cuáles son TODAS las formas posibles en las que pueden terminar las hormigas al finalizar el día?

¿Por qué no hay más posibilidades?

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Ver soluciones enviadas por tu club hasta el momento.

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