23ª Competencia de MateClubes 2020
Ronda Final - Nivel 5

• La prueba dura 2 horas.
• Se puede usar calculadora. No se pueden consultar libros ni apuntes ni archivos de la computadora.
• No puede usarse ningún programa de la computadora para resolver los problemas.
• Los problemas deben ser resueltos por los alumnos participantes de cada club. No pueden consultar con otros clubes ni recibir ayuda de profesores o miembros adherentes (excepto en cuestiones informáticas relacionadas con la recepción y el envío de las pruebas).
• Las soluciones que nosotros recibamos deben haber sido escritas por los alumnos de cada club. Los profesores, bajo ninguna circunstancia, pueden escribir, tipear o transcribir las soluciones de los alumnos.

1

Betty quiere completar un tablero de 4×4 escribiendo un número enteros positivo distinto en cada una de las casillas de manera tal que la suma de cada fila sea múltiplo de 5 y la suma de cada columna sea múltiplo de 9.

¿Cómo puede hacerlo si quiere que el número más grande que usa sea lo menor posible?

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2

Tres cartas, con un número entero positivo escrito en cada una, se ponen boca abajo en una mesa. Se les dice a Ana, Beto y Carla que los números de las tres cartas son todos diferentes, en total suman 13 y están acomodados en orden de menor a mayor de izquierda a derecha.

• En primer lugar, Ana mira el número de la carta situada en el extremo izquierdo. Conociendo ese número, no puede determinar qué números hay en las otras dos cartas y dice, "No tengo suficiente información para determinar los otros dos números".
• Después Carla mira el número de la carta del extremo derecho. Conociendo ese número y habiendo escuchado lo que dijo Ana, no puede determinar qué números hay en las otras cartas y dice "No tengo suficiente información para determinar los otros dos números".
• Finalmente, Beto mira el número de la carta del medio. Conociendo ese número y habiendo escuchado lo que dijeron Ana y Carla, no puede determinar qué números hay en las otras cartas.

Suponemos que cada una de las tres personas razona perfectamente bien, y que saben también que las otras personas razonan perfectamente bien.

¿Cuál es el número que estaba escrito en la carta del medio? ¿Cómo lo determinaron?

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3

Diego escribe en el pizarrón todas las maneras de escribir al 20202020 como producto de algunos enteros mayores que 1. Por ejemplo, algunas de las formas que escribe son

20202020, 10101010×2, 2×10101010, 2×5×2020202

¿Cuántas formas escribió Diego en el pizarrón? ¿Cómo las contaron?

¿Cuántos números enteros escribió en total? ¿Cómo los contaron?

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Ver soluciones enviadas por tu club hasta el momento.

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