ÿþ<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//IETF//DTD HTML//EN"> <html><head> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1"> <meta name="GENERATOR" content="Microsoft FrontPage 4.0"><title>OMA - Clubes Cabri</title></head><body bgcolor="#ffffff" link="#400080"> <p align="center"><font face="Arial" size="6"><b>Décimo-Novena Competencia de Clubes Cabri<br> Soluciones de la Primera Ronda</b></font></p> <p align="center"><font face="Arial" size="6"><b>Nivel Menor</b></font></p> <p><font color="#000000" face="Arial" size="4"><b>Problema N°1:</b></font></p><p><font face="Arial" size="3"> Dado un triángulo acutángulo ABC se marcan el punto D en BC y el punto E en AC, de forma que AEB=ADB=90°. Las bisectrices de los ángulos CAD y CBE se cortan en F. Hallar el ángulo AFB.</font></p> <p><font color="#000000" face="Arial" size="3"><b>Solución 1 de "Los Salamitroskys Reloaded" y "Parro2008A":</b></font></p> <p><font face="Arial" size="2"> Sean J y Q las intersecciones de BF con AC y AD respectivamente.<br> <center><img src="19na1ramensol2.jpg"></center> <br> Si miramos los triángulos BEJ y BDQ, como JBE = QBD y BEJ = BDQ = 90º entonces EJB = DQB. Pero DQB = AQJ de donde EJB = AQJ.<br> Si ahora miramos los triángulos AFJ Y AFQ, como JAF = QAF y AJF = AQF entonces AFJ = AFQ. <br> Luego AFJ = AFQ = 180º/2 = 90º. Es decir que AFB = 90º. <br> </font></p> <p><font color="#000000" face="Arial" size="3"><b>Solución 2 de "Las Chicas Geométricas"</b></font></p> <p><font face="Arial" size="2"> Notemos que DAP = ½ DAC = ½ CBE = FBP ya que DAC = 90  ACB = CBE. Luego, si miramos los triángulos APD y BPF tenemos que DAP = FBP y que APD = BPF de donde PDA = PFB, es decir AFB = PFB = 90º. </font></p> <center><img src="19na1ramensol1.jpg"></center> <p><font color="#000000" face="Arial" size="3"><b>Solución 3 de "Cuadrados al Cubo"</b></font></p> <p><font face="Arial" size="2"> Se tiene que <ul> <li>FAD = ½ CAD = ½ (90º - ACB) = 45º - ½ ACB <li>DAB = 90º - ABC <li>FAB = FAD + DAB = 135 - ½ ACB - ABC </ul> Y análogamente <ul> <li>FBE = ½ CBE = ½ (90º - ACB) = 45º - ½ ACB <li>EBA = 90º - CAB <li>FBA = FBE + EBA = 135º - ½ ACB - CAB </ul> Entonces AFB = 180º - FAB - FBA<br> AFB = 180º - (135º- ½ ACB - ABC) - (135º - ½ ACB - CBA) <br> AFB = ABC + CBA + ACB - 90º =180º- 90º =90º<br> </font></p> <br> <br> <p><font color="#000000" face="Arial" size="4"><b>Problema N°2:</b></font></p> <p><font face="Arial" size="3"> Sea ABC un triángulo equilátero de lado 2 y sean M, N y P los puntos medios de AB, BC y CA respectivamente. Se trazan las tres circunferencias de radio 1 con centro en A, B y C.<br> a) Calcular el área de la región sombreada en la figura A.<br> b) Se traza la circunferencia que pasa por M, N y P. Calcular el área de la región sombreada en la figura B.</font></p> <center><img src="img1.jpg"><img src="img2.jpg"></center> <p><font color="#000000" face="Arial" size="3"><b>Solución de "Clockwork":</b></font></p> <center><img src="19na1ramensol3.jpg"></center> <p><font face="Arial" size="2"> a) <li>Primero calculamos la altura del triángulo ABC: al trazarla sobre el lado AB, queda formado un triángulo rectángulo de hipotenusa AC y base AM. Usando Pitágoras tenemos la ecuación:<br> AM ² + MC ² = AC ².<br> <li>Reemplazamos AM por 1 y AC por 2 y queda <br> 1 + MC ² = 4, con lo que MC = "3<br> <li>De esta manera calculamos el área del triángulo ABC: <br> Área (ABC) =2. "3 /2= "3<br> <li>Seguimos con el área de los sectores circulares, éstos son de 60º (pues el triángulo es equilátero) y de radio 1 luego: <br> Área sector circular de 60º y radio 1 = À.1².60º /360º= 1/6 À.<br> Por último al área del triángulo le restamos el área de los 3 sectores circulares y queda: <br> Area Figura A = "3 -3.1/6. À ="3  1/2 À = 0,1612... <br> <br> b) <li>El radio del círculo trazado es igual a la apotema del triángulo ABC. Tomando el perímetro del triángulo (2.3=6) y el área del triangulo ABC calculada anteriormente, realizamos la siguiente ecuación: <br> 6.apotema / 2="3.<br> <li>Despejando, apotema = 1/3 "3.<br> <li>Calculamos el área del círculo trazado que es: À.(1/3 "3)^2 = 1/3 À.<br> <li>Por último al área del circulo le restamos el área obtenida en la parte A: <br> Área Figura B = 1/3 À  ("3 - ½ À) = 5/6 À  "3 = 0,8859...<br> </font></p> <br> <br> <p><font color="#000000" face="Arial" size="4"><b>Problema N°3:</b></font></p> <p><font face="Arial" size="3"> Sea ABC un triángulo. Sea D el punto medio de AB y sea E un punto en el segmento BC tal que BE=2.EC. Sabiendo que los ángulos BAE y ADC son iguales, hallar el ángulo BAC.</font></p> <p><font color="#000000" face="Arial" size="3"><b>Solución de "Life is GREEN!"</b></font></p> <p><font face="Arial" size="2"> Sea r la paralela a AB por C y llamemos F a su intersección con la prolongación de AE.<br> El triángulo AEB es semejante al FEC ya que tienen los mismos ángulos, luego AB/FC = BE/EC = 2. Es decir que AB = 2 FC, pero D es el punto medio de AB, entonces AD = DB = FC. <br> <br> <center><img src="19na1ramensol4.jpg"></center> <br> El cuadrilátero ADFC tiene lados opuestos iguales y paralelos (AD y FC), de donde ADFC es un paralelogramo. Si G es la intersección de sus diagonales entonces DG = GC (ya que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio) y DG = GA (pues por el dato del problema el triangulo AGD es isósceles). Luego DG = GA = GC. <br> Por ultimo, GCA = GAC (pues GC = GA) y ADG = DAG (dato del problema), pero<br> DAC = DAG + GAC<br> DAC = ½ (DAG + ADG + GAC + GCA)<br> DAC = ½ (ADG + GCA + DAC)<br> DAC = ½ (180º) = 90º <br> Es decir que BAC = DAC = 90º.<br> </font></p> </body></html>