23° Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Prueba de Selección

14 y 15 de agosto de 2008

 

Primer día

1. Se tienen 100 cubos iguales. Gonzalo debe pintar todas las caras de los cubos de negro o de blanco de modo que cada cubo tenga al menos una cara de cada color, que por lo menos 50 de los cubos tengan más de una cara blanca y por lo menos 50 tengan más de una cara negra.
A continuación, Seba debe colocar los cubos sobre la mesa de manera que sus bases formen el marco que bordea un rectángulo de 40 ´ 12. Si la cantidad de caras visibles negras es igual que la cantidad de caras visibles blancas, gana Seba. De lo contrario, gana Gonzalo.
Demostrar que no importa como Gonzalo pinte los cubos, siguiendo las reglas, Seba siempre puede ganar.

ACLARACIÓN: Una cara es invisible si está apoyada en la mesa o si coincide (y está en contacto) con una cara de otro cubo. Las demás caras son visibles. En la configuración del problema, cada cubo resulta con 3 caras visibles y 3 invisibles.

2. Dos circunferencias, W1 y W2 se cortan en A y B. Sean r1 la tangente a W1 que pasa por A y r2 la tangente a W2 que pasa por B. Las rectas r1 y r2 se cortan en C. Sea T el punto de intersección de r1 y W2 (T ¹ A). Consideramos un punto X de W1 (que no es ni A ni B). La recta XA corta a W2 en Y (Y ¹ A). Las rectas YB y XC se cortan en Z. Demostrar que TZ es paralelo a XY.

3. Demostrar que se puede formar una sucesión de 100 cuadrados perfectos tales que el promedio entre dos términos consecutivos de la sucesión sea siempre un cuadrado perfecto, cada término (a partir del segundo) sea mayor que el que lo precede, y cada término (a partir del segundo) sea coprimo con el que lo precede.

ACLARACIÓN: Se llama cuadrado perfecto al cuadrado de un número entero.

 

Segundo día 

4. Hallar todos los valores enteros de x tales que el producto

es un cuadrado perfecto.

ACLARACIÓN: Se llama cuadrado perfecto al cuadrado de un número entero.

5. Germán elige un número entero positivo k y se lo dice a Nico. A continuación Nico debe seleccionar k enteros mayores o iguales que 1 y menores o iguales que 2008 coprimos dos a dos. Si entre los k enteros de Nico hay al menos un número primo, gana Germán. Si no, gana Nico. Hallar el menor valor de k que le permite a Germán ganar, no importa lo bien que juegue Nico.

ACLARACIÓN: Se dice que los números de un conjunto son coprimos dos a dos si para cada par de números del conjunto se verifica que son coprimos.

6. El plano está dividido en regiones mediante n ³ 3 rectas entre las que no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Varias regiones se colorean de negro de modo que no haya dos regiones negras que compartan un segmento o una semirrecta de su borde. Demostrar que el número de regiones coloreadas es a lo sumo .

 


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