Clase 6 - Siguiendo al punto medio

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El problema que veremos esta clase pertenece al nivel C y fue tomado en la Segunda Ronda de la de la 12^ma Competencia de Clubes Cabri. Es un problema de lugares geométricos y al igual que muchos problemas de este tema suele traer dificultades a la hora de demostrar que el lugar geométrico hallado con Locus of points es efectivamente el pedido.

Sea AB segmento y sea P un punto sobre él. Sean APC y PBD triángulos equiláteros uno a cada lado del segmento AB. Hallar el lugar geométrico del punto medio de CD a medida que P se mueve sobre AB.

Cuando uno resuelve este tipo de problemas a mano, es decir, sin la ayuda del Cabri generalmente se presenta dos tipos de dificultades:

• Hallar o predecir el lugar geométrico.

• Demostrar que el lugar geométrico propuesto es en efecto el que había que hallar.

El Cabri, en la mayoría de los casos, nos da resuelta la primera parte del problema a través del comando Locus of points. Sin embargo, hay que tener cuidado con esto porque a veces el ojo puede confundir una circunferencia con una elipse, una recta con una curva, etc.

Lo más importante para ver el lugar geométrico con el Cabri es hacer bien la figura. Veamos, en nuestro caso, que nos aporta el programa:

A simple vista el lugar geométrico (la línea negra discontinua) es un segmento paralelo a AC, de longitud igual a AB y que lo corta en su punto medio. Como veremos luego, la figura nos da mucha información. Sin embargo, no nos podemos guiar por lo que vemos a simple vista y debemos demostrarlo.

Tracemos los triángulos equiláteros ABR y ABS como muestra la figura. Dado que ACP = 60° entonces CD // RB. Por tanto, en definitiva debemos hallar el lugar geométrico de M a medida que el segmento CD se traslada desde AS hasta RB. Claramente, este conjunto de puntos es el segmento que une el punto medio de AS con el punto medio de RB. ¿Por qué?

Problemas y actividades

1. Sea AB un segmento y P un punto en él. Sean APC y PBD triángulos equiláteros del mismo lado del segmento AB. Hallar el lugar geométrico del punto medio de CD a medida que P se mueve sobre AB.

2. Sea ABC un triángulo y P un punto sobre AB. Sea M el punto medio de CP y sea N el punto medio de MA. Hallar el lugar geométrico de N a medida que P se mueve sobre el segmento AB.

3. Inventar una construcción que de un lugar geométrico que no sea ni recta, ni segmento, ni circunferencia.

Aquí va el problema que veremos la próxima clase:

Nivel Inicial: Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 1. Sea M el punto medio de CD. Hallar la distancia de M a la recta AC.

Será hasta la próxima. Hagan las actividades e intenten resolver los problemas. No se olviden de contestar la encuesta que se encuentra al final de la clase !!!

Esta fue la sexta clase de EduCabri 2001, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.

Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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