Problemática

Problema 5 - 24 / 10 / 2000

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Como se viene el torneo, para ir entrando en calor veamos algún problema de estas competencias.

El problema nos lo propuso nuestro amigo Alejandro Braun.

XX Torneo Internacional de las Ciudades, primavera del hemisferio norte - Nivel Mayor - Problema 3
Hallar todos los pares (x,y) de enteros positivos tales que tanto x3 + y como x+ y3 son divisibles por x2 + y2.

Este es un problema de divisibilidad, y en este tipo de problemas, las mejores herramientas suelen ser:

si a / b y a / c => a / (b-c) , a / (b+c) , a / (bx + cy) con x e y también enteros.

si a / b => o bien b = 0 o el módulo de b es mayor o igual que el de a.

(el símbolo a / b quiere decir "a divide a b")

También es bueno recordar algunas factorizaciones muy comunes:

x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y² )

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y² )

x² - y² = (x - y)(x + y) (nunca está de más)

y algo de desigualdades, aunque no muy avanzadas, del tipo aritmético-geométrica:

(x + y)/2 >= (xy) 1/2 para x e y reales positivos, dándose la igualdad si y sólo si x=y

No es necesario que usen tooodas estas formulitas en este problema, pero en otros pueden llegar a ser útiles.

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