Problema 7 - 25 / 04 / 2001

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Nos escribió Susana preguntándonos por el segundo problema del regional de primer nivel del 2000, acá lo tenemos:

Las pistas serían, por ejemplo, empezar por escribir ambos números, factorizados por primos, es decir, como producto de potencias de primos distintos, así el mcd quedaría 2³.3.5, y el mcm sería 2¹¹.3⁶.5³.7².11.13, y tratar de encontrar la mayor potencia de 2 que divida a a y a b. Lo mismo con la potencia de 3, y así hasta la potencia de 13.
Por ejemplo, (pongo el ejemplo fácil) 13 aparece una sola vez en el mcm, y ninguna en el mcd, entonces exactamente uno de los números buscados es múltiplo de 13, y el otro no (si no, el mcd debería ser múltiplo de 13). Y de ambos números, el que es múltiplo de 13, no puede serlo de 13² , porque de ser así el mcm también lo sería, y no lo es.
Otra pista que suele ser de utilidad, aunque en este caso puede no ser necesaria, es que cuando se tienen DOS números M y N, el producto de ambos es igual al producto de su mcm por su mcd. Cabe destacar que se trata de DOS números, porque si fuesen tres o más, el enunciado es una vil mentira, como muestran los números 2, 4 y 8, entre otros tantos contraejemplos.
También, para la parte de contarlos, uno puede hacerse una tabla con todos los posibles pares, o aplicar algunos conocimientos de combinatoria, métodos de conteo, y cosas por el estilo.

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