R A M A   A M A R I L L A   V I





                UNA DEMOSTRACION DISTINTA DEL TEOREMA DE PITAGORAS







TEOREMA: Si ABC es un triángulo rectángulo de catetos b y c e hipotenusa a,

         entonces a²= b²+c².



DEMOSTRACION: Prolongamos los catetos para construir un cuadrado ADEF

      F        H                E

        _______._______________

       |                       |

       |                       |

       |                       . G

       |                       |

       |                       |

       |                       |

       |                       |

     C .                       |

       |                       |

       |_______________._______|



      A                B        D





de lado b + c (la suma de los catetos).

        Marcamos los puntos B î AD, G î ED, H î EF y C î FA de manera que las

longitudes de los segmentos AB, DG, EH y FC sean iguales a c (por lo tanto BD,

GE, HF y CA miden b).

        Los triángulos ABC, BDG, GEH y HFC son congruentes (rectángulos con

catetos correspondientes congruentes). Luego las hipotenusas CB, BG, GH y HC

miden a, de donde resulta que el cuadrilátero BGHC es un rombo. Para ver que

es un cuadrado, hay que demostrar que algún ángulo es recto.

        Consideremos los ángulos que tienen vértice en B; es claro que

ABC + CBG + GBD = 180º.

        Además, los ángulos GBD y ACB son congruentes, por lo tanto

GBD + ABC = 90º, de donde CBG = 90º y BGHC es un cuadrado de lado a.



        Consideremos el área del cuadrado ADEF.

(b+c)² = a² + 4 área(ABC) = a² + 4 (b.c)/2



b²+ c² + 2 b.c = a² + 2 b.c



b²+ c² = a²     como queríamos demostrar.





RECIPROCA DEL TEOREMA DE PITAGORAS:

Si en un triángulo de lados de longitud a, b y c que verifican a²= b²+ c²

entonces el triángulo es rectángulo con catetos de longitudes b y c e hipote-

nusa de longitud a.



DEMOSTRACION:

        Supongamos que el triángulo ABC verifica las condiciones de la hipóte-

sis |BC| = a; |AB| = c y |AC| = b con a² = b²+ c².

        Construimos un ángulo recto de vértice A' y marcamos en uno de sus la-

dos un punto B' de manera que la longitud A'B' sea c. Sobre el otro lado un

punto C' de manera que A'C' mida b. Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa

de A'B'C' mide a.

        Luego ABC y A'B'C' son congruentes por tener sus tres lados congruen-

tes. Por lo tanto el ángulo BAC es congruente con B'A'C' = 90º, como queríamos

demostrar.