R A M A   A M A R I L L A   X I V





UNA APLICACION DE TRIGONOMETRIA: ¿COMO MEDIR LA SUPERFICIE DE UNA PARCELA CON

                        SOLO UNA CINTA METRICA?



       Los agrimensores profesionales que se dedican a medir el campo cuentan,

normalmente, con un teodolito para medir ángulos y una cinta métrica. Midiendo

ángulos, es fácil calcular un área, pero el teodolito es un aparato de alto

precio.

       Tan sólo con una soga bien larga y una cinta métrica para medirla, se

puede obtener también fácilmente la superficie de una parcela MNPQ (un cuadri-

látero que no es paralelogramo ni trapecio).

                        .N



        . M

                                        .P







              . Q



Llamemos MN = m, NP = n,  PQ = p,   QM =  q  y  MP = l.

        El problema lo resolvió ya Herón de Alejandría, en el siglo I mediante

lo que hoy se llama fórmula de Herón. La fórmula proporciona el área de un

triángulo del que se conocen las longitudes de los lados.

        El área S del triángulo ABC  (AB = c, BC = a, CA = b) viene dada por

     ________________

S = ¹p(p-a)(p-b)(p-c)   siendo p el semiperímetro del triángulo:

                               p = « (a+b+c).

        Observemos que entonces

p-a = « (b+c-a)

p-b = « (c+a-b)

p-c = « (a+b-c)

        La demostración de esta fórmula es sencilla mediante la trigonometría.

En el triángulo ABC llamando h(a) a la altura correspondiente al vértice A se

puede escribir

        S = « a h(a) = « a c sen B , luego sen B = 2 S / (a c)

y también

        b² = a² + c² - 2 a c cos B , luego cos B = (c²+ a²- b²)/(2 a c).

Por lo tanto

                     4 S²     (c²+ a² - b²)²    16 S² + (c²+ a²- b²)²

1 = sen²B + cos²B = ------ + --------------- = ----------------------

                     a²c²        4 a²c²                 4 a²c²



y así despejando S² obtenemos:

      4 a²c²- (c²+a²-b²)²    (2ac + c²+ a²- b²)(2ac - c²- a²+ b²)

S² = -------------------- = ------------------------------------- =

            16                                16



   [(a+c)²- b²] [b²- (a-c)²]   (a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)

= -------------------------- = ----------------------------= p(p-a)(p-b)(p-c).

             16                             16



        Luego, para calcular el área de la parcela, sólo hay que medir con la

soga los lados m, n, p, q y la diagonal l.

        Por ejemplo si m = 25 cm, n = 20 cm, p = 30 cm, q = 35 cm y l = 40 cm

resulta que el área buscada es 712,87 cm².

volver anteriorsiguiente