R A M A   A Z U L   X I I I





                                 CONGRUENCIAS



        La noción de congruencia simplifica y ordena el análisis de los restos

de una división entera.

        Decimos que dos números enteros a y b son congruentes módulo m (m na-

tural) si a y b tienen el mismo resto en la división por m.

        Escribimos a   b (m) para simbolizar " a y b son congruentes módulo

m".

3  5 (2) porque ambos tienen resto 1 en la división por 2.

149  19 (5) porque ambos tienen resto 4 en la división por 5.

28  0 (7) porque ambos tienen resto 0 en la división por 7.

        Si hacemos las diferencias entre ambos números, tenemos:

3 - 5 = -2   es múltiplo de 2.

194 - 19 = 175  es múltiplo de 5.

28 - 0 = 28 es múltiplo de 7.

        En general, a  b (m) si y sólo si a - b es múltiplo de m (en la mayo-

ría de los textos esta es la definición de congruencia).

        La congruencia conserva varias propiedades de la igualdad:

Si a  b (m) y b  c (m)    entonces  a  c (m).

Si a  b (m) y c  d (m)    entonces  a + c  b + d (m)

                                       a.c    b.d  (m)

                                        a     b  (m)  si n es natural.

        Un resultado importante:

Todo número entero a es congruente módulo m a uno y sólo un entero r tal que

0  r < m. Este número r es el resto de la división de a por m.

        37  2 (5)      1471  8 (11)      31  4 (9)       42  0 (7).

Veamos cómo aplicar congruencias en un ejemplo:

        Probar que la ecuación  3x² + 2 = y² no tiene soluciones enteras.

Si x es un número entero, entonces  3 x²  0 (3)  y como 2  2 (3), tenemos

3 x² + 2  2 (3).

        Por otro lado, si y es un número entero, sus posibles restos en la di-

visión por 3 son 0, 1 ó 2.

       Veamos qué sucede en cada caso con y²:

y   0  (3)             y    1  (3)            y    2  (3)

y²  0² (3)             y²   1² (3)            y²   2² (3)

y²  0  (3)             y²   1  (3)            y²   4  1  (3)

En ningún caso es y²  2 (3), y por lo tanto no puede ser 3x² + 2 = y².

 

                           3

1) Probar que la ecuación x + 5 = 7 y no admite soluciones enteras.

 

2) ¿Cómo hay que elegir n para que 10 - 1 sea divisible por 11? ¿Y para que

sea divisible por 11²?

                                         1995

3) Hallar el resto de la división de 2000     por 7.

 

                                      4444

4) Sea A la suma de las cifras de 4444      y sea B la suma de las cifras de

A. Calcular la suma de las cifras de B.

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