R A M A   R O J A    I





        Es sabido que  x ( x + y ) = x² + xy. Esto quiere decir que podemos

usar indistintamente una u otra expresión según nos convenga. Si partimos de

x ( x + y ) y obtenemos x² + xy  diremos que hemos DESARROLLADO x ( x + y ).

Si partimos de x² + xy , y obtenemos x ( x + y )  diremos que hemos FACTOREADO

x² + xy.

        Igualmente conocidas son:

( x  y )² =  x²   2 x y + y²

( x + y ) ( x - y ) = x² - y²

( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd



Antes de avanzar, asegurate de saber estas 5 identidades.

Vamos a "extender" las ideas usadas en las identidades de recién.



EJEMPLO 1

        ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ( 1 + d ) =

= 1 + ( a + b + c + d ) + ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) +

  + (abc + abd + acd + bcd ) + abcd



  Observemos la "regularidad" con que se obtienen estos términos:

        1.1.1.a; 1.1.1.b; ...

        1.1.a.b; 1.1.a.c; ...

y finalmente abcd.

        Cuando uno procede en forma organizada, generalmente puede apreciar

este tipo de regularidades.





EJEMPLO 2

        ( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc



EJEMPLO 3          _    _     _    _

        x - y = ( ¹x + ¹y) ( ¹x - ¹y )



EJEMPLO 4

           4    2         4     2       2     2   2    2     2       2

        ( x  + x + 1 ) = x + 2 x + 1 - x  = (x +1)  - x  = (x +1+x)(x +1-x)



        En los ejemplos 3 y 4 tenemos dos "trucos" que resultan muchas veces

de gran utilidad. ¿Los observaste?



EJERCICIOS

1. Desarrollar y presentar de manera organizada:



   (i)   ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c)

                  3

   (ii)  ( 1 + x )

                     3

   (iii) ( a + b + c)

                  4

   (iv)  ( a + b )



2. Factorear:

   (i)   a - b como si fuera la diferencia de dos cuadrados.

                __

   (ii)  x + 2 ¹xy + y

          6   6

   (iii) a - b  como la diferencia de dos cuadrados.



3. Factorear:

   (i)    ( a + b )² - c²

           4     2  2    4

   (ii)   a + 2 a  b  + b

           4   2  2    4

   (iii)  a + a  b  + b

           4     2

   (iv)   x + 3 x  + 4

           4     4      2  2

   (v)    x + 4 y - 20 x  y

           4      2 2      4

   (vi)   x - 15 x y  + 9 y



   (vii) a² - 2a - b² + 1



4. Es evidente que b² = a² - ( a + b ) ( a - b)

Usar esta fórmula para calcular 9999²



5. Hallar las soluciones enteras positivas de la ecuación

        x²+ y²+ z² = 10 ( x + y + z )

   Probar que no hay otras.



6. Expresar

2 ( a - b ) ( a - c ) + 2 ( b - c ) ( b - a ) + 2 ( c - a ) ( c - b )

como la suma de tres cuadrados.



7. Hallar la raíz cuadrada de

           4     3     2

        4 x + 8 x + 8 x + 4 x + 1

y deducir la raíz cuadrada de 48841.



8. Si   3 x² + x + k  es múltiplo de x + 3, hallar el valor de k.



        Si resolviste todos los ejercicios anteriores, te proponemos pensar

los que siguen:

                4

9*. Factorear  n + 4  como producto de dos expresiones cuadráticas.

                                    4

    (i)  ¿Para qué valores de n es n + 4   un número primo?

                                    4

    (ii) ¿Para qué valores de n es n + 4 un múltiplo de 5?



10*. Factorear

     (i)  1 + y ( 1 + x )² ( 1 + xy )

                   2    3     2 3   3 3

     (ii) 1 - b - a  + a b + a b - a b



                        R A M A   R O J A   I I



     EL DESARRROLLO DE   ( x + y )   PARA VALORES ENTEROS POSITIVOS DE n.





     3   3     2          2    3

(x+y) = x + 3 x y  + 3 x y  + y



     4   4     3       2 2        3     4

(x+y) = x + 4 x y + 6 x y  + 4 x y  +  y



     5   5     4        3 2       2 3        4    5

(x+y) = x + 5 x y + 10 x y  + 10 x y  + 5 x y  + y





  Los coeficientes forman el famoso Triángulo de Pascal, en el que cada número

es la suma de los dos números vecinos que están en la fila anterior:



                         1

                      1     1

                   1     2     1

                1     3     3     1

             1     4     6     4     1

          1    5     10     10    5     1

       ........................................



En general:

       n    n   n   n   n-1     n   n-2 2         n   n-r r          n   n

  (x+y)  = ( ) x + ( ) x   y + ( ) x   y  + ...+ ( ) x   y  + ... + ( ) y

            0       1           2                 r                  n



       n    n (n-1) (n-2)...(n-r+1)              n

donde ( ) = ------------------------ ;   r>0 ,  ( ) = 1

       r      r (r-1) (r-2)...1                  0





Observá que el numerador y el denominador tienen ambos r factores. Por las

dudas, te aconsejamos que verifiques algunas identidades:

   7     7.6.5

* ( ) = -------- = 35    (la cantidad de maneras en las que se pueden elegir

   3     3.2.1            3 objetos de un conjunto de 7 objetos es 35).



   11   11.10.9.8

* (  )=----------- = 330

   4     4.3.2.1



   n

* ( ) = 1

   n



* En el Triángulo de Pascal que hicimos recién pusimos 6 filas. La séptima

  fila sería:

              6     6     6     6     6     6      6

             ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )    ( )

              0     1     2     3     4     5      6



o sea:        1     6     15    20    15    6       1







Para desarrollar (x-y) haremos un pequeño truco:

(x-y) = ( x + (-y) ) =

   n   n   n   n-1      n   n-2   2        n   n-r   r              n

= ( ) x + ( ) x  (-y)+ ( ) x  (-y) + ...+ ( ) x  (-y)  + ... +  (-y) =

   0       1            2                  r

    n    n  n-1     n   n-2   2        n   n-r   r            n  n

=  x  - ( )x   y + ( ) x    y  - ...+ ( ) x  (-y)  + ... +(-1)  y

         1          2                  r







Un poco de práctica:

                 21     12

1- (i) Calcular (  ) y (  ) .

                 3      5

   (ii) ¿De cuántas maneras se pueden elegir 4 libros distintos entre un grupo

        de 15 libros distintos?

                           n      n

   (iii) Explicar por qué ( ) = (   ).

                           r     n-r



                       n        n!

   (iv) Demostrar que ( ) = ----------   donde n! = n (n-1) (n-2) ... 3.2.1

                       r     r! (n-r)!



2. Mostrar que la suma de los coeficientes del r-ésimo término y del

                                              n

   (r+1)-ésimo término del desarrollo de (1+x)  es igual al coeficiente

                                      n+1

   (r+1)-ésimo del desarrollo de (1+x)   .

   ¿Cómo se relaciona este ejercicio con el Triángulo de Pascal?





3. Sabiendo que:          n     n      n            n

                (1+x) = ( ) + ( )x + ( ) x² +...+ ( ) x

                          0     1      2            n

   Demostrar que:

        n     n     n         n     n

   (i) ( ) + ( ) + ( ) +...+ ( ) = 2

        0     1     2         n

        n     n     n    n          n n

  (ii) ( ) - ( ) + ( ) -( )+...+(-1) ( ) = 0

        0     1     2    3            n



        n      n      n      n         n n     n

 (iii) ( ) + 2( ) + 4( ) + 8( ) +...+ 2 ( ) = 3

        0      1      2      3           n



        n      n      n      n            n n n

  (iv) ( ) - 2( ) + 4( ) - 8( ) +...+ (-1) 2 ( ) = __|  1 si n es par

        0      1      2      3                n      | -1 si n es impar





Verificar los resultados anteriores en las siguientes dos líneas del

Triángulo de Pascal:

                        1   6   15   20   15   6   1

                      1   7   21   35   35   21  7   1



                  n    n-r+1   n                                        n

4) Demostrar que ( ) = ----- (   ) y hallar el valor de r que maximice ( ).

                  r      r    r-1                                       r





5) ¿De cuántas maneras se puede dividir un grupo de X + Y objetos en dos gru-

   pos, uno de X y otro de Y objetos?



6) Verificar que en todas las filas del Triángulo de Pascal la suma de los

   números en posiciones impares es igual a la suma de los números en posi-

   ciones pares, es decir:

    n     n           n     n

   ( ) + ( ) + ... = ( ) + ( ) + ...

    1     3           0     2

    Demostrar este resultado.



7) Se rotulan 9 objetos con A, B, C, D, E, F, G, H, I. ¿De cuántas maneras se

   puede distribuir estos objetos en 3 bolsas: una de 2, una de 3 y otra de

   4? Supongamos que un conjunto de n objetos se ha distribuido en 3 grupos

   de p, q y r elementos, con n = p + q + r

   ¿De cuántas maneras se pueden formar los 3 grupos?



8*) Hay n objetos diferentes en una circunferencia. Demostrar que la cantidad

    de maneras en las que se puede elegir 3 elementos entre ellos, de forma

    que no haya 3 adyacentes es 1/6 n (n-4) (n-5)



9*) La cantidad de maneras de ubicar n letras distintas en una fila es n!.

    Demostrar que la cantidad de "oraciones" de r "palabras" que se pueden

    formar con n letras es

                           n! (n-1)!

                         --------------

                          (n-r)! (r-1)!



10*) Si x, y, z son enteros no negativos y   x+y+z = 10, hallar la suma de los

     números de la forma    10!

                         --------

                          x! y! z!





                         R A M A   R O J A   I I I



                                     n     n

                FACTORIZACION DE    X    Y    PARA n ENTERO POSITIVO





 3   3                2         2

x - y  = ( x - y ) ( x + x y + y )



 4   4                3   2       2   3

x - y  = ( x - y ) ( x + x y + x y + y )



 5   5                4   3     2 2     3   4

x - y  = ( x - y ) ( x + x y + x y + x y + y )



        .............................

 n   n                n-1   n-2      n-3  2          n-1

x - y  = ( x - y ) ( x   + x    y + x    y  + ....+ y   )







Podemos observar como se van cancelando los términos:

                           n-4  3    n-5  4

( x - y ) (.............+ x    y  + x    y  +..............)

  |   |      n-4  4       |         |

  |   |__ - x    y _______|         |

  |                n-4  4           |

  |____________ + x    y ___________|



Aconsejamos realizar todas las multiplicaciones indicadas más arriba, para

cerciorarse de que las identidades son correctas.

En dichas identidades, observá la regla de formación de los factores.



                  n   n

El desarrollo de x + y  produce resultados distintos:

 3   3                2         2

x + y  = ( x + y ) ( x - x y + y )



 5   5                4   3     2 2     3   4

x + y  = ( x + y ) ( x - x y + x y - x y + y )



 7   7                6   5     4 2   3 3   2 4     5   6

x + y  = ( x + y ) ( x - x y + x y - x y + x y - x y + y )





y en general, para un entero positivo impar n, se tiene:



 n   n                n-1   n-2      n-3  2           n-2    n-1

x + y  = ( x + y ) ( x   - x    y + x    y - ... - x y    + y   )



Una vez más, te recomendamos que verifiques la validez de las identidades pre-

sentadas. Para ello, hay que efectuar las multiplicaciones.



NOTA: ( Solo si sabés números complejos)

                x²+ y² = ( x + yi ) ( x - yi )  donde i² = -1





EJERCICIOS:

1- Explicar por qué:

        39   39

   (i) 5  - 2   es divisible por 3.

         99   99

   (ii) 2  + 3   es divisible por 5.

          98   98

   (iii) 2  + 3   NO es divisible por 5.

         99   99   99   99

   (iv) 2  + 3  + 4  + 5   es divisible por 7.

        99   99    99   99

   (v) 2  - 4   - 7  + 9   es divisible por 10.





2- Hallar una fórmula para calcular el valor de:

   (i)  1 + x + x² + ... + x para cualquier valor entero positivo de n

   (ii) 1 - x + x² - ... + x para cualquier valor entero positivo e impar

        de n.



3- Factorizar:

        6   6

   (i) a - b  como producto de 4 factores.

   (ii) a²(b-c) + b²(c-a) + c²(a-b)



4- Si a y b son números reales tales que a+b = 10 y  ab = 3, hallar el valor

de

  (i) 1/a + 1/b

  (ii) a² + b²

         3   3

  (iii) a + b



5- Explicar por qué, para cualesquiera a y b enteros

              3   3   3

   (i)   (a+b) - a - b    es divisible por 3.

              5   5   5

   (ii)  (a+b) - a - b    es divisible por 5.

              7   7   7

   (iii) (a+b) - a - b    es divisible por 7.



6- Si x e y son enteros positivos, hallar todas las soluciones de la ecuación

                 2          6

                x  - 871 = y



7- Demostrar que para todo entero n

          3

   (i)   n  - n  es divisible por 3

          5

   (ii)  n  - n  es divisible por 5

          7

   (iii) n  - n  es divisible por 7

          11

   (v)   n  - n  es divisible por 11



   ¿Qué te sugieren estos resultados?



8- Si (a - 1/a)² = 3   y a>0, hallar el valor de:

        3        3

  (i)  a  - (1/a)

        4        4

  (ii) a  + (1/a)



9- Si a es la diferencia entre un número dado y su inverso, y b es la diferen-

cia entre el número dado y el cuadrado de su inverso, demostrar que

                a²(a²+4) = b²



10* -  Demostrar que, para cualquier entero positivo n, la expresión

       A =  3500 - 728 - 785 + 4

       es divisible por 1991.





¡¡ Por fin!!



DESAFIO 1

         Factorizar

               4     2 2    4

         (i)  x - 7 x y  + y

         (ii) (a+b)² + (b+c)² + (c+a)² - a² - b² - c²



DESAFIO 2

         Demostrar que

                        99   99   99   99   99

                       1  + 2  + 3  + 4  + 5

         es divisible por 15.



                            R A M A   R O J A   I V



                            LA FUNCION CUADRATICA



        Suponemos que es conocida y nos limitaremos a destacar algunas propie-

dades importantes.

1- La función cuadrática f(x) = a x²+ b x + c, con a, b, c números reales,

a distinto de 0, tiene dos ceros:

        __________                                    __________

  -b + ¹b² - 4 a c                              -b - ¹b² - 4 a c

 -------------------             y            --------------------

         2 a                                            2 a



2- La ecuación cuadrática   a x² + b x + c = 0  tiene dos raíces o soluciones:

              __________                                    __________

        -b + ¹b² - 4 a c                              -b - ¹b² - 4 a c

x 1  = -------------------            y       x 2 = --------------------

             2 a                                            2 a



3- La suma de las raíces es   x 1 + x 2  =  -b / a    y el producto de las

raíces es  x 1 . x 2 =  c / a.

Por lo tanto, la ecuación cuadrática  a x² + b x + c = 0, o sea,

        x² + (b/a) x + (c/a) = 0    se puede escribir como

        x² - (suma de las raíces) x + (producto de las raíces) = 0



EJEMPLOS: Una ecuación cuadrática con raíces

(i) 3 y -7   es  x² + 4 x - 21= 0

          _         _

(ii) 3 + ¹5  y 3 - ¹5    es  x² - 6 x + 4 = 0



4- La naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática queda determminada

por el valor de b² - 4 a c, llamado DISCRIMINANTE (D).

   Si  b² - 4 a c  >  0   las raíces son reales y distintas.

   Si  b² - 4 a c  =  0   las raíces son reales y coincidentes.

   Si  b² - 4 a c  <  0   las raíces son distintas y no reales (complejas).



        Cuando  b² - 4 a c  =  0  las dos raíces son iguales a (-b/2a).

En el caso general:

                f(-b/2a) = a.(-b/2a)²+ b.(-b/2a) + c = (4ac - b²) / 4a

El punto (-b/2a, (4ac - b²)/4a)  es el vértice del gráfico de y = f(x).

Notar que -b/2a = ½ ( x 1 + x 2 ), o sea, ½ (suma de las raíces)



5- El gráfico de f(x) = a x² + b x + c   es una parábola.

        .                    .

         .                  .

          .                .            .

           .              .          .     .

------------.------------.----------.-------.--        Si D > 0 corta 2 veces

              .        .           .          .        al eje horizontal.

                .     .           .            .

                   .             .              .











              .                    .

               .                  .

                .                .

                 .              .

                  .            .

                    .        .

                      .     .

_________________________.________.______________   Si D = 0 , es tangente al

                               .     .              eje vertical.

                              .        .

                             .          .

                            .            .

                           .              .

                          .                .

                         .                  .









             .                      .

              .                    .

               .                  .

                .                .

                 .              .

                  .            .

                    .        .

                      .     .

                         .

_______________________________________________   Si D < 0 , no corta al eje

                                                  horizontal.



                                  .

                               .     .

                              .        .

                             .          .

                            .            .

                           .              .

                          .                .

                         .                  .





6- Otra expresión muy útil de la función cuadrática es:

                                         b          4 a c - b ²

        f(x) = a x² + b x + c = a ( x + --- ) ² + ( ----------- )

                                        2 a             4 a



de la que se deduce que f(x) tiene

(i)  o bien un valor mínimo ( 4 a c - b ²) / 4a   en  x = -b / 2a , si a > 0 ;

(ii) o bien un valor máximo ( 4 a c - b ²) / 4a   en  x = -b / 2a , si a < 0 .



EJEMPLOS

(i) 3 x² + 7 x - 5 = 3 ( x + 7/6 ) ² - 109/12  tiene un valor mínimo -109/12

cuando x = -7/6.

(ii) -2 x² + 5 x - 3 = -2 ( x - 5/4 ) ² + 1/8 tiene un valor máximo de 1/8

     cuando x = 5/4.





7- Las dos raíces de la ecuación cuadrática a x² + b x + c = 0, a distinto de

cero, son

              __________                                    __________

        -b + ¹b² - 4 a c                              -b - ¹b² - 4 a c

       -------------------            y             --------------------

             2 a                                            2 a



  Si b² - 4 a c > 0  y   b² - 4 a c no es un cuadrado perfecto, entonces estas

raíces son de la forma          _                     _

                          p + q¹r       y       p - q¹r

                      _            _

Las expresiones p + q¹r   y  p - q¹r  se llaman CONJUGADAS.

Si a, b y c son racionales (y D no es un cuadrado perfecto), estos conjugados

son irracionales. Su producto          _           _

                               ( p + q¹r ) ( p - q¹r) = p² - q²r

es un número racional. Observar que p, q y r son racionales, y notar que r NO

es un cuadrado perfecto.



EJERCICIOS



1. Hallar la ecuación cuadrática de raíces

             _         _

   (i)  2 + ¹3 ;  2 - ¹3

         _        _

   (ii) ¹5 + 2 ; ¹5 - 2

   Verificar la respuesta, resolviendo la ecuación.



2. Dos canillas llenan una pileta en 4 horas. Si se usan separadamente, se

tardan 6 horas más en llenar la pileta con la canilla chica que con la canilla

grande. ¿Cuánto tarda en llenarse la pileta SOLO con la canilla chica?



3. Diego resolvió correctamente la ecuación a x² + b  x + c = 0  y halló una

de las raíces igual a 2. Carolina permutó b con c y una de las raíces que

halló fue 3. ¿Cuál era la ecuación original?



4. ¿Para qué valores reales de a la ecuación cuadrática  a x² + b x + c = 0

tiene como raíces dos enteros consecutivos? ¿Cuáles son las raíces?



5. Si las soluciones de la ecuación x² + p x + q = 0 son los cubos de las so-

luciones de la ecuación  x² + m x + n = 0, hallar la relación que vincula p,

q, m y n.



6. Dada la ecuación 2 x² - 9 x + 8 = 0, hallar otra ecuación cuadrática tal

que una de sus raíces sea el recíproco de la suma de las raíces de la ecuación

dada y la otra raíz de la nueva ecuación sea el cuadrado de la diferencia de

las raíces.



7. La ecuación  x² + a x + (b+2) = 0 tiene raíces reales. Hallar el valor

mínimo de a²+b².



8. Hay un entero x de dos dígitos tal que el producto de sus dígitos es

x² - 10 x - 978. Hallar el entero x



9*. Si a y b son enteros y si las soluciones del sistema

             y - 2 x - a = 0

        y² - xy + x² - b = 0

    son racionales, demostrar que las soluciones son enteras.



10*. ¿Para cuántos enteros positivos es n²+ 1991 un cuadrado perfecto? ¿Cuánto

vale n en esos casos? Resolver el mismo problema con 1992.



11*. Si a y b son enteros impares, demostrar que la ecuación

        x² + 2 a x + 2 b  = 0      NO tiene raíces racionales.



                          R A M A   R O J A   V





                 POLINOMIOS: ALGUNOS RESULTADOS UTILES



Un polinomio de grado n se puede escribir como

              n        n-1        n-2

        a(0) x + a(1) x   + a(2) x   + ... + a(n)    (a(0) distinto de cero)

Observamos que:

(i) La expresión tiene n+1 términos.

                                   n-r

(ii) El término general es   a(r) x



(iii)  a x + b es un polinomio de grado 1.

       a x² + b x + c es un polinomio de grado 2.





FACTORIZACION Y RESTO

        3     2

f(x) = x + 2 x - 13 x + 10 = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x + 5 )

  Si miramos la factorización (la de la derecha) podemos asegurar de inmediato

que f(1) = f(2) = f(-5) = 0

  Esto puede "confirmarse" haciendo las cuentas en el polinomio original:

        f(1) = 1 + 2 - 13 + 10 = 0



                3       2

        f(2) = 2 + 2 . 2 - 13 . 2 + 10 = 0



                    3          2

        f(-5) = (-5) + 2 . (-5) - 13 . (-5) + 10 = 0



Entonces el polinomio f(x) tiene tres CEROS: 1, 2 y -5.

        Si tenemos un polinomio sin factorizar y queremos evaluarlo en varios

valores de x, es eficiente usar la siquiente expresión "anidada":

         3     2

        x + 2 x - 13 x + 10 = x ( x ( x + 2 ) - 13 ) + 10





        Para hacer x ( x ( x + 2 ) - 13 ) + 10  se necesitan 5 operaciones (2

                                                     3     2

multiplicaciones y 3 sumas); en cambio, para hacer  x + 2 x - 13 x + 10 se ne-



cesitan 8 operaciones (5 multiplicaciones y 3 sumas).



        Esta forma "abreviada" de evaluar se puede esquematizar en una tabla

muy familiar: la de la regla de Ruffini.-



        Por ejemplo, para evaluar f(3):



        | 1     2       -13     10      coeficientes de f(x)

        |

      3 |       3        15      6

    ----|-----/------/---------/------

        | 1 /   5  /      2  /   16 <-- f(3)

         (x 3)    (x 3)      (x 3)



Este método nos regala además otra información valiosa:

                3     2                           2

        f(x) = x + 2 x - 13 x + 10 = ( x - 3 ) ( x + 5 x + 2 ) + 16



   Los coeficientes de la última línea del esquema de Ruffini corresponden al

cociente  x² + 5 x + 2  que resulta de dividir f(x) por x - 3. El resto es 16

que, como hemos visto, es f(3).

                   3     2

   Para dividir   x + 2 x - 3 x - 4   por  2 x - 1  son necesarios pequeños

ajustes:

        Como 2 x - 1 = 2 ( x - ½ ) , probamos dividir por x - ½ :



        |  1   2    -3    -4

        |

      ½ |      ½    5/4   -7/8

      --|---------------------

        |  1  5/2  -7/4   -39/8



            3     2                         2

y tenemos  x + 2 x - 3 x - 4 = ( x - ½ ) ( x + 5/2 x - 7/4) - 39/8 =

                                                2

                             = ( 2 x - 1 ) ( ½ x + 5/4 x - 7/8 ) - 39/8



Así, para dividir el polinomio f(x) por a x - b, hallamos el cociente q y el

resto r de dividir f(x) por ( x - b/a )

        f(x) = ( x - b/a ) q(x) + r = ( a x - b) ( q(x) / a ) + r

y resulta que q(x)/a es el cociente y r = f(b/a) es el resto.



EJERCICIOS:

                                   4     3     2

1. Expresar el polinomio f(x) = 2 x + 2 x - 3 x  + 4 x - 5  en forma anidada y

calcular f(2) y f(-3).

                                   4     3     2

2. Expresar el polinomio f(x) = 2 x - 3 x - 2 x + x - 4 en forma anidada y

calcular f(1) y f(-2).



3. Hallar el cociente y el resto de dividir

           5     4     2

   (i)  3 x + 2 x - 3 x + 2 x - 7  por x + 2

         4     3     2

   (ii) x - 2 x - 4 x + 3 x - 1    por 2 x - 3



4*. Hallar el cociente y el resto de dividir

         3     2

    (i) x + 3 x - 5 x + 6  por (x+1) (x-3)

          4     3   2                 2

    (ii) x - 2 x + x - 5 x + 11  por x + 5 x + 4



 

                                FACTOREO

Claramente, si el resto de dividir p(x) por x - a es cero, entonces a es un

cero de p(x) y x-a es un factor o divisor de p(x).

                            3      2

Ejemplo: dividir f(x) =  6 x - 41 x - 9 x + 14  por   2 x - 1

        | 6  -41   -9   14

        |

      ½ |      3  -19  -14

     ---|-------------------

        | 6  -38  -28    0



              3      2                            2

Entonces:  6 x - 41 x - 9 x + 14 = ( x - ½ ) ( 6 x - 38 x - 28 )  + 0 =

                                                    2

                                 = ( 2 x - 1 ) ( 3 x - 19 x - 14 ) =



                                 = ( 2 x - 1 ) ( 3 x + 2 ) ( x - 7 )

y podemos factorizar completamente a f(x)



EJERCICIOS

1. Demostrar que:

                            3      2

   (i) -4 es una raíz de 6 x + 31 x + 23 x - 20 = 0

                              3     2

   (ii) 3/2 es una raíz de 2 x - 5 x - 3 x + 9 = 0

y en ambos casos, hallar las demás raíces.



2. Demostrar que:

   (i) para todo entero positivo n, ( x - 1 ) es factor de x - 1.



   (ii) para todo entero positivo impar n,

        (a) ( x + 1 ) es factor de  x + 1.

               m                     mn

        (b) ( x + 1 ) es factor de  x  + 1   (m entero positivo)



   (iii) para todo entero positivo par n,

         (a)  ( x + 1 ) es factor de x - 1

                  m                     mn

         (b)   (x  + 1 ) es factor de x  - 1 (m entero positivo)

                                   4

    (iv)  ( x + 2 ) es factor de  x - 16.

                                  5

    (v)   ( x + 3 ) es factor de x + 243.



3. Expresar

          15

   (i) ( x  + 1 )  como producto de 4 factores.

           15

   (ii) ( x  - 1 ) como producto de 4 factores.



4. Hallar un polinomio p(x) de grado 3 que tenga el mismo valor en x = 1, 2, 3

y tal que p(0) = 1



5*. Sea p(x) un polinomio con coeficientes enteros. Se sabe que p(a) - p(b) =1

para ciertos a y b enteros. Demostrar que a y b difieren en 1.

                5   4   3   2

6*. Sea g(x) = x + x + x + x + x + 1 . ¿Cuál es el resto de dividir el polino-

         12

mio  g( x  )  por g(x)?



                                 C O N T I N U A R A (EN MARZO)


volver siguiente