R A M A   R O J A   X I I

 

                                  2     3

              LAS SERIES  k ,  k ,  k ,... para k = 1, 2, ..., n.

 

    Las fórmulas de estas series son un poco más complicadas y se obtienen

utilizando las tablas de diferencias de los ejercicios que ya hemos propuesto.

Resumimos estos resultados:

 n

  k = 1 + 2 + 3 + ... + n = (1/2) n ( n + 1 )

k=1

 

 n  2    2   2   2         2

  k  = 1 + 2 + 3 + ... + n = (1/6) n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )

k=1

 

 n  3   3   3   3         3         2         2

  k = 1 + 2 + 3 + ... + n = (1/4) n ( n + 1 )

k=1

 

 

 EJERCICIOS

           n  3                             3

1. S(n) =   k  = 1 + 8 + 27 + 125 + ... + n  .

          k=1

Hacer una tabla de diferencias para la sucesión 1 , 8 , 27 , 64 , 125 , ...

y utilizarla para justificar la fórmula               2         2

                                        S(n) = (1/4) n ( n + 1 ) .

             n

2. Si S(n) =  k ( k + 1 ) , hallar una fórmula para S(n) en términos de n.

            k=1

 

             n

3. Si S(n) =  k ( k + 1 ) ( k + 2 ) , justificar la fórmula

            k=1

                        S(n) = (1/4) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )



4. Hallar la cantidad de pelotas de tenis que contiene una pirámide de base

cuadrada en la que cada lado de la base tiene 10 pelotas.



5. Hallar la cantidad de pelotas de golf que contiene una pirámide de base

triangular en la que cada lado de la base tiene 12 pelotas.



6. Mostrar que si se forma una pila de base cuadrada de bolitas, con n niveles

y tal que cada lado de la base tiene 2 n bolitas, el total de bolitas de la

pila es  (1/6) n ( 2 n + 1 ) ( 7 n + 1 ).



7*. Una pila de n niveles de bolitas tiene base rectangular y el nivel supe-

rior consiste en una fila de x bolitas (ver esquema). Mostrar que el número de

bolitas en la pila es   (1/6) n ( n + 1 ) ( 2 n + 3 x - 2 ).

Esquema:        ****************

               *                *

              *                  *    VISTA DE PERFIL

             *                    *

            ************************



             ***********************

             * *                 * *

             *   *             *   *

             *     ***********     *  VISTA DESDE ARRIBA

             *   *             *   *

             * *                 * *

             ***********************



                   1     1      1

8*.i) Mostrar que --- - --- = -----  .

                   k    k+1   k(k+1)

                                                     n     1

   ii) Escribir los primeros 5 términos de la serie    -------  .

                                                    k=1  k(k+1)

 

                                   n    1            1

   iii) Usar i) para mostrar que    -------  = 1 - ---  .

                                  k=1 k(k+1)        n+1

                 1     1     1            1

   iv) Calcular --- + --- + --- + ... + ----- .

                5.6   6.7   7.8         20.21



9*. Mostrar que para todo entero positivo n

 2   2   2   2            n     2      n+1  2       n+1

1 - 2 + 3 - 4 + ... + (-1) (n-1) + (-1)    n  = (-1)   ( 1 + 2 + 3 + ... + n )



10*. Simplificar

                  1.2.4 + 2.4.8 + ... + n.2n.4n     1/3

                (--------------------------------- )     .

                  1.3.9 + 2.6.18 + ... + n.3n.9n

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