R A M A   V E R D E   X I



                               ENTEROS CONGRUENTES



        Hasta ahora sólo hemos trabajado con números naturales: 1, 2, 3, ...

De aquí en más, será conveniente ampliar nuestro universo a los números ente-

ros: ....., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

        Los enteros a y b son congruentes módulo m (m entero) si a-b es divi-

sible por m.

        La notación que usaremos para ello es

                                                a  b (mod m).

Ejemplos 1

(a) 9  6 (mod 3) pues 9-6 es divisible por 3.

(b) 27  7 (mod 10) pues 27-7 es divisible por 10.

(c) 101  63 (mod 19) pues 101-63 es divisible por 19.

(d) -11  5 (mod 8) pues -11-5 es divisible por 8.

(e) 81  0 (mod 27) pues 81-0 es divisible por 27.





Algunas propiedades de la congruencia:

(i)   Si a  b (mod m) entonces b  a (mod m).

(ii)  Si a  b (mod m) y b  c (mod m) entonces a  c (mod m).

      Por ejemplo, 47  3 (mod 11) y 3  36 (mod 11), por lo tanto

      47  36 (mod 11).

(iii) Una condición muy importante es la siguiente: a  b (mod m)

      equivale a:

                 a y b tienen el mismo resto en la división por m.

Por ejemplo, 3  7 (mod 2) ya que tanto 3 como 7 tienen resto 1 en la división

por 2.

Observamos que: 3  1 (mod 2) ,  7  1 (mod 2).



(iv) Si a  b (mod m) y c  d (mod m) entonces a + c  b + d (mod m) y

     a - c  b - d (mod m).

Por ejemplo, 12  -2 (mod 7)  y 1  15 (mod 7)

sumando, resulta 13  13 (mod 7);

restando, resulta 11  - 17 (mod 7).



(v) Si a  b (mod m) y c  d (mod m) entonces ac  bd (mod m).

Por ejemplo, 12  -2 (mod 7) y 1  15 (mod 7), por lo tanto 12  -30 (mod 7).



(vi) Si a  b (mod m) entonces a  b (mod m), donde n es natural.

                                        2    2            3    3

Por ejemplo, 2  12 (mod 10), entonces 2  12 (mod 10) y 2  12 (mod 10).



                                         56

Ejemplo 2: ¿Cuál es el último dígito de 3  ?

Trabajamos módulo 10, pues esto nos da el último dígito.

                     2                   3

3  3 (mod 10);     3  9 (mod 10);     3  27 (mod 10)  7 (mod 10)

 4                                 5

3  81 (mod 10)  1 (mod 10);     3  243 (mod 10)  3 (mod 10).



Esto muestra que los últimos dígitos de las potencias de 3 son 1, 3, 7 y 9.

                        56                                      56    4 14

Para llegar "rápido" a 3  , observamos que 56 = 14.4, entonces 3  = (3 )  .

      4                      4 14                                   56

Pero 3  1 (mod 10), luego (3 )   1 (mod 10). El último dígito de 3   es 1.



Cualquier número será congruente módulo 5 a un número del conjunto

{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }. Por ejemplo 37  2 (mod 5); 23  3 (mod 5);

39  4 (mod 5).

Los números 0, 1, 2, 3, 4, se llaman "restos módulo 5"/

Podemos hacer la tabla de suma y la de multiplicación entre restos módulo 5.

______________________                ______________________

+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |               . | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

--|---|---|---|---|---|               --|---|---|---|---|---|

0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |               0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

--|---|---|---|---|---|               --|---|---|---|---|---|

1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |               1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

--|---|---|---|---|---|               --|---|---|---|---|---|

2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |               2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |

--|---|---|---|---|---|               --|---|---|---|---|---|

3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |               3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |

--|---|---|---|---|---|               --|---|---|---|---|---|

4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |               4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |

----------------------                -----------------------





EJERCICIOS

                              1995

1)Hallar el resto de dividir 2      por:

        a) 7            b) 11.

                                      1995    1995

2) Hallar los dos últimos dígitos de 5     y 7     .

        (sugerencia:usar módulo 100).



3) Hallar el menor entero positivo b que satisface la congruencia:

    56                                      32

a) 3   b (mod 7)                       b) 7   b (mod 7)

    122                                     122

c) 7    b (mod 11)                     d) 7    b (mod 13)

    56                                      32

e) 3   b (mod 11)                      f) 7   b (mod 11).



4) a) Explicar por qué todo primo impar es de la forma 4n+1 ó 4n+3. Listar los

20 primeros primos, indicando en cada uno a cuál de las formas corresponde.

   b) Mostrar que para cualquier natural b se verifica:

        b²  0 (mod 4)  ó       b²  1 (mod 4).

      (sugerencia: analizar por separado los casos b par y b impar).

   c) Mostrar que la sucesión

      11, 111, 1111, 11111, .... no contiene cuadrados perfectos.

   d) Para los primos listados en (a) que son de la forma 4n+1, escribir cada

      uno como suma de dos cuadrados.

   e) Mostrar que los primos de la forma 4n+3 no pueden escribirse como suma

      de dos cuadrados.

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