Problemas Semanales

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• XV-129. (Primer Nivel)

Sergio viaja de A hacia B y Tadeo viaja de B hacia A, los dos van a velocidades constantes y los dos inician el viaje a la misma hora. Desde el instante en que se cruzan, Sergio tarda 9 horas en llegar a B y Tadeo tarda 4 horas en llegar a A. Hallar el tiempo que tarda Sergio en su recorrido desde A hasta B y el tiempo que tarda Tadeo en su recorrido desde B hasta A.

 

• XV-229. (Segundo Nivel)

Sea ABC un triángulo acutángulo, D un punto del lado AB, E el punto del lado AC tal que DE es perpendicular a AC y F el punto del lado BC tal que DF es perpendicular a BC. Construir el punto D de manera tal que EF sea paralela a AB.

 

• XV-329. (Tercer Nivel)

Sean x₁, x₂, x₃, ..., x₁₀₀ cien números reales mayores o iguales que 0 y menores o iguales que 1. Hallar el máximo valor posible de la suma

S = x₁(1-x₂) + x₂(1-x₃) + x₃(1-x₄) + ... + x₉₉(1-x₁₀₀) + x₁₀₀(1-x₁).

 

• VII-129 (Primer nivel)

Diego tiene una caja para guardar discos compactos con 6 compartimentos.
Quiere guardar 2 discos de folklore y 4 de rock.
Si quiere que los discos de igual género musical queden juntos, ¿De cuántas maneras distintas puede acomodar los discos en la caja?

 

• VII-229 (Segundo nivel)

En un cubo se efectuaron cortes en cada uno de los vértices de modo que queden formados triángulos, como muestra la figura. El cuerpo obtenido tiene 24 vértices. Determinar: el número de aristas, el número de caras y el número de diagonales que no están contenidas en ninguna cara.

• VII-329 (Tercer nivel)

Juan tiene que llevar una ficha desde A hasta B moviéndola por las líneas de la cuadrícula del tablero de la figura. Puede moverse hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Cada vez que la ficha se mueve en sentido horizontal, Juan anota el número de la columna que atraviesa.
Cuando la ficha llega a B, Juan multiplica todos los números que anotó.
¿Hay algún camino para el cual el resultado es 4320? ¿Hay algún camino para el cual el resultado es 6000?
Si la respuesta es no, explicar por qué.
Si la respuesta es sí, mostrar el camino.

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