6ta Competencia de Clubes Cabri

Ronda Final

1er nivel

1

Construir la siguiente figura donde ABCDEFGH es un octógono regular y HI =  BJ =  DK =  LF =  lado del cuadrado IJKL.

figura

Hallar y justificar la relación: [area(ABCDEFGH) - area(BDFH)] / [area(ABCDEFGH) - area(IJKL)]

2

Sea ABCD un cuadrado y el punto P en su interior, se trazan las mediatrices de PA, PB, PC y PD formándose un cuadrilátero EFGH.

  1. Hallar el lugar geométrico de P si algún vértice del cuadrilátero EFGH pertenece al perímetro de ABCD.
  2. Hallar el lugar geométrico de P si el cuadrilátero EFGH es un trapecio.

3

Dado un triángulo ABC, construir un punto D en BC de manera tal que si E pertenece a AC y DE es perpendicular a AC y F pertenece a AB y DF es perpendicular a AB entonces DEF es un triángulo isósceles.

4

Sea ABC un triángulo y CI el simétrico de C con respecto a A, CII el simétrico de CI con respecto a B, CIII el simétrico de CII con respecto a C, CIV el simétrico de CIII con respecto a A y CV el simétrico de CIV con respecto a B. Probar que CV coincide con C.

 

2do Nivel

5

Dado P, Q y R puntos del plano. Construir un triángulo equilátero ABC tal que P, Q y R pertenezcan a las semirrectas AB, BC y CA respectivamente, pero no pertenezcan al perímetro de ABC.

6

Dados dos segmentos AB y CD construir todos los triángulos ABS tales que si P en AS es tal que AP / AS = 1 / 4 y Q en BS es tal que BQ / BS = 3 / 4 entonces PQ = CD.

7

Sea ABC equilátero y P un punto sobre AB. Construir el cuadrado PQRS de modo que Q esté en CA y S esté en BC.

  1. ¿Para qué puntos P es eso posible?
  2. ¿Cuál es el lugar geométrico de los centros del cuadrado al mover P sobre AB?

Hallar P para que el área de PQRS sea mínima.

8

Sea A1A2...A2n un 2n-gono regular y un punto B1.
Sea B2 el simétrico de B1 con respecto A1.
Sea B3 el simétrico de B2 con respecto A2.
Sea B2n el simétrico de B2n- 1 con respecto A2n- 1.

i) Probar que A2n es punto medio de B1B2n.

ii) Demostrar que B1B3...B2n-1 y B2B4...B2n son n-gonos regulares iguales.

iii) Probar que el per(B1B3...B2n- 1) = per(B2B4...B2n) = per(A1A2...A2n).

 


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