5to
Torneo de Computación y Matemática
Primera
Ronda
12 al 19 de
junio de 2002 - No presencial
Nivel 1
(7mo y 8vo
año de escolaridad)
1
Hallar números enteros a, b,
c tales que 648 · a + 1483 · b - 16
· c = 31.
2
En cierta fábrica tienen tres empleados
que se encargan de armar cajas. Matías arma 107 cajas por día,
Lucas arma 301 cajas por día y Pablo arma 213 cajas por día.
En los primeros 30 días hábiles del año armaron en total 16000
cajas. ¿Cuántos días faltó cada uno al trabajo, en ese lapso?
3
a) Encontrar un número entero
positivo x de manera que el resultado de 73 · x
+ 37 sea un número primo.
b) Encontrar un número entero positivo y de manera que
el resultado de 5701 · y + 2798 sea un número primo.
(El cero no es un número positivo.)
(Nota: Un número es primo si solamente se puede dividir por el
número 1 y por sí mismo. Por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, ... )
Nivel 2
(9no y
10mo año de escolaridad)
1
Según las disposiciones legales de
Truchilandia, para dar un vuelto de $20002 se deben utilizar
exactamente 808 moneditas. Pero las únicas moneditas que hay son
las de $17, $23 y $31. ¿De cuántas formas distintas es posible
dar el vuelto?
Nota: Las moneditas se entregan todas juntas en un montoncito
desordenado.
2
Encontrar un número entero positivo N
tal que la suma de las cifras de N2 sea 63.
Encontrar otro más con la misma propiedad.
3
Dados dos números enteros positivos 1
a<100
y 1b<100,
calculamos:
· P = la cantidad de números primos de la forma a · k
+ b (k entero no negativo), menores que 10000
· T = la cantidad de números de la forma a · k
+ b (k entero no negativo), menores que 10000
Hallar los valores de a y b de manera que al hacer la división P/T
se obtenga el máximo valor posible.
(Por ejemplo, los números de la forma 50 · k + 2 (k
entero no negativo), menores que 10000, son: 2, 52, 102, 152, ...
, 9852, 9902, 9952)
(Nota: Un número es primo si solamente se puede dividir por el
número 1 y por sí mismo. Por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, ... )
Nivel 3 (11er año de
escolaridad en adelante)
1
En una gran pizarra se quieren armar los
números 5, 22, 39, 56, 73, 90, ... que sean menores a 10000000
(cada número se obtiene sumándole 17 al anterior). Pero para
armarlos sólo quedaron cajas con los dígitos 1 y 2 (ya que 0,
3, 4, ..., 9 se acabaron antes). Encontrar todos los números de
esta secuencia que solamente están formados por cifras 1 y 2.
Por ejemplo 22, 22122, ...
2
¿De cuántas maneras se puede expresar
2047 como a0 + 2 · a1 +
4 · a2 + 8 · a3 + ... +
1024 · a10 , con 0 ai i + 1?
Es decir, donde cada ai es un
número entero no negativo menor o igual que i+1; por
ejemplo 0 a0 1, 0 a1 2,
0 a2
3,
..., 0 a7 8,
...
3
Decir cuántos números distintos se pueden
formar como resultado del producto de uno, dos, o más de los
siguientes números, sin repetir: 5, 22, 91, 455, 2002, 19945,
87758, 438790, 48266900.
Por ejemplo: 5 (5), 2002 (22·91), 45374875 (5·455·19945), etc.
