13er Torneo de Computación y Matemática

 

Certamen Nacional

Buenos Aires, 15 al 17 de noviembre de 2010

 
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Nivel 1(7mo y 8vo año de escolaridad)

Primer día

1

a) Encontrar tres números enteros X, Y, Z todos mayores que 30 tales que X2 + Y2 + Z2 = 22739

b) ¿Cuántas ternas de números X, Y, Z de este tipo hay en total?

2

Encontrar un número de cinco cifras ABCBA primo, en dónde A, B, C son cifras y C = 3 ∙ A.

3

Enzo es muy supersticioso y quiere comprar exactamente 777 galletitas por $7,77. En el supermercado hay paquetes de 84 galletitas a $0,44; paquetes de 59 galletitas a $0,69; paquetes de 81 galletitas a $0,40 y paquetes de 45 galletitas a $0,67. ¿Puede comprar las galletitas que quería al precio que quería? ¿Tiene más de una opción? ¿Cuántos paquetes debería comprar en total en cada caso?

Segundo día

4

Alejo calcula todos los números de la forma 4 ∙ AB + A - 5 ∙ B en donde A y B son enteros mayores o iguales que 2010. Encontrar el menor de ellos que es primo.

5

Dado el número N, llamamos s(N) a la suma de las cifras de N. Por ejemplo si N = 1447 entonces s(1447) = 16.

a) Encontrar un entero positivo N tal que s(N) + s(N2) = 87.

b) Encontrar un entero positivo N tal que s(N) + s(N2) = 96.

6

a) Encontrar dos números enteros positivos X =< Y tales que si se suman todos los números que son divisores de X ó de Y (ó de ambos) se obtiene 6721.

b) ¿Cuántas parejas de números (X; Y) de este tipo hay?

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Nivel 2(9no y 10mo año de escolaridad)

Primer día

1

Encontrar cuatro números enteros positivos A, B, C, D tales que 3861 ∙ A + 2600 ∙ B + 2070 ∙ C + 64350 ∙ D = 10362690

2

¿Cuántos divisores de 20092010 terminan en 127?

Nota: Un número termina en 127 cuando sus 3 últimas cifras decimales son 1, 2, 7 en ese orden. Por ejemplo 90127, pero no 5721, que termina en 721.

3

a) Encontrar cuatro números enteros positivos A, B, C, D tales que el producto de las seis sumas posibles de dos de ellos sea 68428800.

b) ¿Cuáles son todas las cuaternas de números A, B, C, D de este tipo?

Segundo día

4

Los números abacanados son los enteros positivos que no se pueden escribir como la suma de tres cuadrados perfectos. Por ejemplo 7 es abacanado, pero 8=22+22+02 no.

a) Encontrar un número abacanado mayor que 210.

b) ¿Cuántos números abacanados hay entre 210 y 2010?

5

Ariel descompone el número N como producto de enteros positivos mayores que 1 y suma estos factores. Calcular cuántos resultados distintos puede obtener...

a) si N = 20100.

b) si N = 39916800.

6

Dado un primo P, se define F(P) como la posición de P en la lista de los números primos. Por ejemplo, F(2) = 1, F(3) = 2, F(5) = 3 y F(17) = 7.

 Luego, dado un número N construímos la lista de números N, F(N), F(F(N)),... hasta encontrar el primer valor de la lista que no sea primo. Por ejemplo, para N = 17 la lista es 17, 7, 4 y ahí termina, dado que 4 no es primo; para N = 16, la lista sólo tiene al 16. Definimos el orden de N como la longitud de esta lista. Por ejemplo, el orden de 17 es 3 y el orden de 16 es 1.

Calcular la suma de los órdenes de todos los números entre 1 y N inclusive:

a) Para N = 18799716

b) Para N = 201082010

Discutí tus soluciones de Nivel 2 en el Consultorio-CyM


 

Nivel 3(11er año de escolaridad en adelante)

Primer día

1

Encontrar un número primo de 6 cifras ABCDEF, tal que los números BCDEFA, CDEFAB, DEFABC, EFABCD y FABCDE también sean primos de 6 cifras.

2

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación AB = C, con A, B, C enteros positivos tales que A =< B, los dígitos de A y B juntos son todos distintos y no nulos, y los dígitos de C son todos iguales?

 Por ejemplo 273 ∙ 814 = 222222 es una solución válida, pero 72 ∙ 12345679 = 888888888 no lo es.

3

a) De entre todas las tiras de 15 dígitos ordenados de menor a mayor, ¿cuántas hay que sumen 125?

b) De entre todas las tiras de 30 dígitos ordenados de menor a mayor, ¿cuántas hay que sumen 250?

c) De entre todas las tiras de 45 dígitos ordenados de menor a mayor, ¿cuántas hay que sumen 375?

Nota: Por ejemplo "0 0 0 1 1 2 3 3 4 4 4 6 8 8 8" es una tira de 15 dígitos que suma 52.

Segundo día

4

Para su tarea de lengua, Lucas debe buscar palabras con 3 vocales seguidas. Para facilitar su búsqueda hizo un programa que toma una palabra, revisa todas las permutaciones de sus letras, y muestra por pantalla todas aquellas permutaciones que tengan 3 vocales seguidas (aunque no sean palabras), sin repetir. Por ejemplo, si ingresa "AGUA", el programa muestra 6 permutaciones: AUAG GAAU GAUA GUAA UAAG AAUG

a) ¿Cuántas permutaciones muestra el programa si Lucas ingresa "FACILES"?

b) ¿Cuántas permutaciones muestra el programa si Lucas ingresa "COMPLICACIONES"?

5

Dado el número entero positivo N se calcula la suma de los recíprocos de todos sus divisores. Por ejemplo si N = 10 se obtiene 1 + 1/2 + 1/5 + 1/10 = 9/5. Hallar todos los N < 108 tales que dicha suma es entera.

6

Gráfico de X^4+Y^4<=1Calcular el área del conjunto de puntos del plano (X, Y) que verifican la inecuación X4 + Y4 =< 1.

a) Aproximar la respuesta con un error menor que 10-4.

b) Aproximar la respuesta con un error menor que 10-7.

c) Aproximar la respuesta con un error menor que 10-9.

Discutí tus soluciones de Nivel 3 en el Consultorio-CyM

 

 


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