18vo Torneo de Computación y Matemática

Certamen Intercolegial

14 de agosto de 2015

Nivel 1 (7mo y 8vo año de escolaridad)

Problema 1

Encontrar dos enteros positivos X, Y que cumplan que  4·X + 3·X·Y + 2·Y 2 = 16637442

Problema 2

Contar cuántas ternas de dígitos A,B,C todos distintos y no nulos cumplen que AB·BC es divisible por AC.

Ejemplo: 7,2,5 es una terna que cumple lo pedido.

Aclaración: AB es el número de 2 dígitos que tiene A en las decenas y B en las unidades, y análogamente para BC y AC.

Problema 3

Una máquina puede fabricar tres tipos de valijas (o maletas). Para la valija pequeña necesita 19 remaches, para la valija mediana necesita 26 remaches, y para la valija grande necesita 31 remaches. Para funcionar, la máquina es alimentada con cajitas de remaches que contienen 144 remaches cada una. Si se fabricaron 24 valijas y no se desperdició ni sobró ningún remache, ¿cuántas valijas de cada tipo se fabricaron? Dar todas las posibilidades.

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Nivel 2 (9no y 10mo año de escolaridad)

Problema 1

Encontrar dígitos A, B y C tales que el producto 4A · 9B · 2C termine en 492.

Aclaraciones: 4A es el número de 2 dígitos que tiene 4 en las decenas y A en las unidades, y análogamente para 9B y 2C. 2015 termina en 15.

Problema 2

Julio extiende (hasta el 2015) el trazado usual de la rayuela así: todos los múltiplos de 4 van en casillas dobles, junto con el número anterior o el número posterior, eligiendo de entre ellos el que deja menor resto en su división por 5. Le queda como en este dibujo:

      4   7     11     15       20    
1 2 3 6 9 10 13 14 17 18 19 22 ...
5 8 12 16 21
                         

Para jugar, se da 1 salto para avanzar de casilla, pero con dos pies en las casillas dobles. Por ejemplo, hace falta 1 salto para llegar al 1, 3 saltos para llegar al 3, 4 saltos para llegar al 4 y al 5 (ya que se llega a ambos al mismo tiempo), 7 para llegar al 9, 12 para llegar al 15 y al 16, etc. ¿Cuántos saltos hacen falta para llegar al 2015?

Problema 3

a) Hallar tres enteros positivos X, Y, Z todos menores que 10000 que cumplan las siguientes dos ecuaciones simultáneamente:

X + 3·Y2 + 5·Z2 = 18143426

X + 4·Y2 + 2·Z2 = 10278149

b) Hallar todas las soluciones del ítem a.

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Nivel 3 (11mo año de escolaridad en adelante)

Problema 1

a) Hallar valores para los dígitos (todos distintos) A, B, C, D, E y F de forma que los números de tres cifras ABC, DEF, CBA y FED cumplan

ABC   =   CBA
DEF FED

b) Hallar todas las posibilidades.

Problema 2

Encontrar un entero positivo N tal que la suma de sus divisores sea divisible por 2015.

Ejemplo: Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y la suma de los divisores de 12 es 28.

Problema 3

a) Hallar la cantidad de ternas de enteros positivos A,B,C tales que

Raíz cuadrada de (raíz cuadrada de (raíz cuadrada de (2015 - A)) - B) - C igual a 1

b) Hallar la cantidad de ternas de enteros positivos A,B,C tales que

Raíz cuadrada de (raíz cuadrada de (raíz cuadrada de (2015 al cuadrado - A)) - B) - C igual a 1

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