VII Olimpíada Matemática Rioplatense
7 al 14 de Diciembre de 1998

 

nivel A

1

Patricia marca sobre un pedazo de cartulina cuadrada ABCD su centro O; luego recorta del cuadrado el triángulo AOB, y obtiene un pedazo de cartulina AOBCD.
Muestra cómo Patricia puede cubrir todo el plano con piezas todas idénticas a AOBCD, sin que éstas se superpongan ni dejen huecos.

2

Tenemos un tablero cuadriculado de 100 × 100. Las filas fueron numeradas de 1 a 100, de arriba hacia abajo. Del mismo modo, las columnas fueron numeradas de 1 a 100, de izquierda a derecha. A continuación, en cada columna, se pintaron las casillas que están en las filas cuyo número es un divisor del número de la columna. (Por ejemplo, en la columna 12, se pintaron las casillas de las filas 1, 2, 3, 4, 6 y 12; en la columna 13, se pintaron las casillas de las filas 1 y 13).

  1. Determina el número de casillas que se pintaron en la séptima fila.
  2. Determina el número de casillas que se pintaron en todo el tablero.

3

En una circunferencia se marcaron 10 puntos blancos y 1 punto negro. Consideremos todos los posibles polígonos (convexos) que tienen sus vértices en estos puntos.
Separamos los polígonos en dos tipos:

Tipo 1: los que tienen solamente vértices blancos;
Tipo 2: los que tienen al punto negro como uno de sus vértices.

¿Hay más polígonos del tipo 1 o del tipo 2? ¿Cuántos más?

4

Un programa de computadora permite realizar dos operaciones:

, pero está prohibido apretar la tecla B si (n -1) no es múltiplo de 3.
Todas las computadoras tienen inicialmente el número 3 en la pantalla.
Se propuso a los alumnos de la clase que cada uno hiciera seis operaciones. Sabemos que dos de los alumnos obtuvieron como resultado final dos números naturales consecutivos. ¿Cuáles son esos dos números?

5

Tenemos una cartulina con forma de triángulo equilátero (o sea, un triángulo con los tres lados iguales).

  1. Muestra cómo dividir la cartulina en 22 triángulos equiláteros, no necesariamente todos del mismo tamaño.
  2. Muestra cómo dividir la cartulina en 17 triángulos equiláteros, no necesariamente todos del mismo tamaño.

6

En una ciudad hay tres clubes. Cada habitante es socio de por lo menos uno de los clubes. En cada club, como máximo el 20% de los socios son hombres.

  1. ¿Es posible que los hombres sean 3/7 de la población de la ciudad?
  2. ¿Es posible que los hombres sean el 43% de la población de la ciudad?

En ambos casos explica porqué.

 

nivel 1

1

En un pentágono regular ABCDE, trazamos las diagonales AC y BE, que se cortan en el punto P. Recortamos el triángulo APB y obtenemos así el hexágono APBCDE. Tenemos una colección infinita de piezas iguales al hexágono APBCDE en tamaño y forma.
Muestra que se puede embaldosar el plano con estas piezas.

NOTA: Embaldosar el plano significa cubrirlo con piezas sin que éstas se superpongan, ni dejen huecos.

2

Se tiene un tablero cuadriculado de 100x100. Las filas están numeradas de 1 a 100, de arriba hacia abajo. Del mismo modo, las columnas están numeradas de 1 a 100, de izquierda a derecha. En cada columna se marcan las casillas que están en las filas cuyo número es un divisor del número de la columna. Luego, en cada casilla marcada, se escribe el número de la fila en la que se encuentra. Por ejemplo, en la columna 10, se escriben los números 1, 2, 5 y 10 en las filas 1, 2, 5 y 10, respectivamente.
Prueba que la suma de todos los números escritos en las casillas marcadas es menor que 10000.

3

Se tiene un cuadrado de lado 1999. ¿Es posible dividirlo completamente en varios cuadrados (más de uno) que tengan lados de longitudes enteras mayores que 35?
Justifica tu respuesta.

NOTA: Los cuadrados pueden ser de distintos tamaños.

4

Los números 1, 2, 3, ... se colocan de la siguiente manera:

figura

En la figura sólo se muestra la distribución de 16 números, pero si continuamos el proceso siguiendo el mismo esquema, ¿qué número ocupa la posición 1998 y en qué nivel se encuentra?

EJEMPLOS:
En la posición 10 se colocó el número 4 y está en el nivel 1.
En la posición 13 se colocó el número 3 y está en el nivel 3.

5

Prueba que si se dan 101 números enteros positivos cualesquiera, es posible elegir 11 de ellos cuya suma sea divisible por 11.

6

En un trapecio ABCD de bases AB y CD se eligen los puntos M y N en los lados AD y BC, respectivamente, de modo que AM/MD = CN/NB

Si MN intersecta a las diagonales AC y BD en P y Q, respectivamente, demuestra que MP=NQ.

 

nivel 2

1

A cada número entero positivo n se le asocia un entero no negativo f(n), de modo que se cumplen las siguientes condiciones:

  1. f(ab) = f(a) + f(b),
  2. f(n) = 0, si n es primo mayor que 10 y
  3. f(1) < f(243) < f(2) < 10.

Halle f(1998) sabiendo que es menor que 10.

2

Un hombre camina pisando los durmientes de la vía del ferrocarril, recorriendo un tramo rectilíneo de vía de 1 km de longitud. (Los durmientes o traviesas son los maderos que soportan los rieles de la vía). Las características de este tramo son:

  1. empieza y finaliza en durmientes,
  2. contiene exactamente 2001 durmientes y
  3. la distancia entre dos durmientes consecutivos es variable y no mayor que 60 cm.

Si en cada paso el hombre avanza no más de 80 cm, determine el menor número de pasos para recorrer todo el tramo.
Justifique la respuesta y dé un ejemplo con una distribución de durmientes para la cual, con dicho número de pasos, se complete todo el tramo.

IMPORTANTE: No tome en consideración ni el ancho de los durmientes ni la longitud del pie.

3

Dada una circunferencia C elija un diámetro AB y marque en éste un punto P arbitrario, distinto de A y B. En uno de los dos arcos determinados por el diámetro AB, considere dos puntos M y N tales que ^APM = ^BPN = 60°. Trace los segmentos MP y NP para obtener así tres triángulos curvilíneos APM, MPN y NPB. (Los lados del triángulo curvilíneo APM son los segmentos AP y PM y el arco AM). En cada triángulo inscriba una circunferencia.

Demuestre que la suma de los radios de las tres circunferencias construidas es menor o igual que el radio de C.

4

Sea ABCD un cuadrado. En el semiplano determinado por AC que contiene a B se escoge un punto P tal que ^APC = 90° y ^PAC > 45°. Sean Q el punto de corte de PC con AB y H el pie de la altura correspondiente a Q en el triángulo AQC. Demuestre que los puntos P, H y D están alineados.

5

Sean a, b y c números reales positivos tales que:

a + b + c = 1.

Demuestre que:

.

6

Un tablero de tamaño m x n dividido en casillas cuadradas de tamaño 1 x 1 se ha cubierto completamente con piezas rectangulares de tamaño 2 x 1, que no se solapan ni sobresalen de los bordes del tablero.
Se consideran los cuadrados de tamaño 2 x 2 formados por cuatro casillas del tablero. Se dice que una pieza de tamaño 2 x 1 sombrea un cuadrado (de tamaño 2 x 2) si cubre al menos una de sus cuatro casillas. El número de piezas que sombrean cada cuadrado 2 x 2 puede ser 2, 3 ó 4.
Demuestre que el número de cuadrados sombreados por, exactamente, dos piezas es mayor que el número de cuadrados sombreados por cuatro piezas.

 

nivel 3

1

Considere un arco AB de una circunferencia C y un punto P variable en dicho arco AB. Sea D el punto medio del arco AP que no contiene a B y sea E el punto medio del arco BP que no contiene a A. C1 es la circunferencia con centro D que pasa por A y C2 es la circunferencia con centro E que pasa por B. Demostrar que la recta que contiene los puntos de intersección de C1 y C2 pasa por un punto fijo.

2

Dado un entero n>=2, considere todas las sucesiones x1, x2,..., xn de números reales no negativos tales que

x1 + 2x2 + ... + nxn = 1

Hallar el valor máximo y el valor mínimo de

x12 + x22 + ... + xn2,

y determinar todas las sucesiones x1, x2,..., xn para las cuales se obtienen estos valores.

3

Sea X un conjunto finito de enteros positivos. Demostrar que para cada subconjunto A de X, existe un subconjunto B de X, con la siguiente propiedad:

Para cada elemento e de X, e divide a un número impar de elementos de B, si y sólo si, e es un elemento de A.

4

Sea M un subconjunto de {1,2,...,1998} con 1000 elementos. Demostrar que siempre es posible encontrar dos elementos a y b en M, no necesariamente distintos, tales que a + b es una potencia de 2.

5

Diremos que M es punto medio de la poligonal abierta XYZ, formada por los segmentos XY, YZ, si M pertenece a la poligonal y divide su longitud a la mitad.
Sea ABC un triángulo acutángulo de ortocentro H. Sean A1, B1, C1, A2, B2, C2 los puntos medios de las poligonales abiertas CAB, ABC, BCA, BHC, CHA, AHB, respectivamente. Demostrar que las rectas A1A2, B1B2 y C1C2 son concurrentes.

6

Sea k un entero positivo fijo. Para cada n = 1,2,..., llamaremos configuración de orden n a cualquier conjunto de kn puntos del plano, que no contiene 3 colineales, coloreados con k colores dados, de modo que haya n puntos de cada color. Determinar todos los enteros positivos n con la siguiente propiedad: en cada configuración de orden n, es posible seleccionar 3 puntos de cada color, de manera tal que los k triángulos con vértices del mismo color que se determinan sean disjuntos dos a dos.

 


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