V Olimpíada Matemática del Cono Sur.

Uruguay. 1994

 

Primer día

1. El entero positivo N tiene 1994 cifras. De estas, 14 son iguales a cero y los números de veces que aparecen las demás cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, están en la razón 1:2:3:4:5:6:7:8:9, respectivamente.
Demostrar que N no es un cuadrado perfecto.

2. Se considera una circunferecia (C) de diámetro AB=1 . Se elige un punto P0 en la circunferencia, distinto de A, y a partir de P0 se construye una sucesión de puntos P1, P2, ... ,Pn, ... de la circunferencia, del modo siguiente:

Qn es el simétrico de A respecto de Pn y la recta que une B y Qn corta a la circunferencia (C) en los puntos B y Pn+1 (no necesariamente diferentes).

Demostrar que es posible elegir P0 tal que se cumplan simultáneamente:

  1. El ángulo P0AB es menor que 1

  2. En la sucesión generada a partir de P0 hay dos puntos Pk y Pj tales que el triángulo APkPj es equilátero.

3. Sea p un número real positivo dado.
Hallar el mínimo valor de x3 + y3 sabiendo que x e y son números reales positivos tales que x.y.(x+y)=p.

 

Segundo día

4. Pedro y Cecilia participan en un juego con las siguientes reglas:
Pedro elige un número entero positivo a y Cecilia le gana si encuentra un número entero positivo b, primo con a, tal que en la descomposición en factores primos de a3 + b3 aparecen por lo menos tres factores primos distintos.
Demostrar que Cecilia siempre puede ganar.

5. Determinar infinitas ternas x, y, z de enteros positivos que sean soluciones de la ecuación x2 + y2 = 2z2, tales que el máximo común divisor de x, y, z sea 1.

6. Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Sobre el lado AB se toma un punto D, de modo que CD=k, y los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos ADC y CDB son iguales.
Demostrar que el área del triángulo ABC es igual a k2.

 


Archivo de Enunciados Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   
www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar