IV Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Abril de 1989. La Habana, Cuba

 

1

Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones siguiente:

x + y - z = -1
x2 - k2 + z2 = 1
-x3 + y3 + z3 = -1

 

2

Sean x, y, z tres números reales tales que 0 < x < y < z < (/2). Demostrar la desigualdad:

(/2) + 2sen(x).cos(y) + 2sen(y).cos(z) > sen(2x) + sen(2y) + sen(2z)

 

3

Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que:

[(a-b)+(a+b)] + [(b-c)+(b+c)] + [(c-a)+(c+a)] < 1/16

 

4

La circunferencia inscrita en el triángulo ABC, es tangente a los lados AB y AC en los puntos M y N, respectivamente. Las bisectrices de A y B intersecan a MN en los puntos P y Q, respectivamente. Sea O el incentro del triángulo ABC.
Probar que:

MP.OA = BC.OQ

 

5

Sea la función f definida sobre el conjunto {1; 2; 3; ... }

  1. f(1) = 1

  2. f(2n + 1) = f(2n) +1

  3. f(2n) = 3f(n)

Determinar el conjunto de valores que toma f.

 

6

Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación: 2x2 - 3x = 3y2

 

 


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