VII Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Septiembre de 1992. Caracas, Venezuela

 

1

Para cada entero positivo n, sea an el último dígito del número. 1+2+3+...+n Calcular a1 + a2 + a3 + ... + a1992.

 

2

Dadas la colección de n números reales positivos a1 < a2 < a3 < ... < an y la función

f(x) = [a_1 / (x+a_1)] + [a_2 / (x+a_2)] + ... + [a_n / (x+a_n)]

Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los x = 1.

 

3

En un triángulo equilátero ABC cuyo lado tiene longitud 2 se inscribe la circunferencia G.

  1. Demostrar que para todo punto P de G, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices A, B y C es 5.
  2. Demostrar que para todo punto P de G es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos AP, BP y CP, y que su área es:

raiz de 3/4

 

4

Sean (an) y (bn) dos sucesiones de números enteros que verifican las las siguientes condiciones:

  1. a0 = 0, b0 = 8

  2. a1 = 2

  3. an es un cuadrado perfecto para todo n. Encontrar un número N de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con cinco cifras de N.

 

5

Se da la circunferencia C y los números positivos h y m de modo que existe un trapecio ABCD inscrito en C, de altura h y en el que la suma de las bases AB y CD es m. Construir el trapecio ABCD.

 

6

A partir del triángulo T de vértices A, B y C se construye el hexágono H de vértices A1, A2, B1, B2, C1, C2 como se muestra en la figura. Demostrar que:

área(H) >= 13.área(T)

figura

 

 


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