II Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Enero de 1987. Salto, Uruguay

 

1

Encontrar las f(x) tales que:

ecuación

para xdistinto0, xdistinto1, xdistinto-1.

 

2

En un triángulo ABC, M y N son los puntos medios respectivos de los lados AC y AB, y P el punto medio de intersección de BM y CN. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero ANPM, entonces el triángulo ABC es isósceles.

 

3

Pruebe que si m, n, r son enteros positivos, no nulos, y:

ecuación

entonces m es un cuadrado perfecto.

 

4

Se define la sucesión pn de la siguiente manera: p1 = 2 y para todo n mayor o igual que 2, pn es el mayor divisor primo de la expresión:

p1 p2 p3 ... pn-1 + 1

Pruebe que pn es diferente de 5.

 

5

Si r, s y t son las raíces de la ecuación:

x(x-2)(3x-7) = 2

  1. Demuestre que r, s y t son positivos.
  2. Calcule: arctan r + arctan s + arctan t.

Nota: Se denota con arctg x, el arco comprendido entre 0 y picuya tangente es x.

 

6

Sea ABCD un cuadrilátero plano convexo, P y Q son puntos de AD y BC respectivamente Tales que:

ecuación

Demuestre que los ángulos que forma la recta PQ con las rectas AB y DC son iguales.

 

 


Archivo de Enunciados Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   
www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar