IV Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Abril de 1989. La Habana, Cuba

1

Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones siguiente:

x + y - z = -1
x² - k² + z² = 1
-x³ + y³ + z³ = -1

2

Sean x, y, z tres números reales tales que 0 < x < y < z < (/2). Demostrar la desigualdad:

(/2) + 2sen(x).cos(y) + 2sen(y).cos(z) > sen(2x) + sen(2y) + sen(2z)

3

Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que:

4

La circunferencia inscrita en el triángulo ABC, es tangente a los lados AB y AC en los puntos M y N, respectivamente. Las bisectrices de A y B intersecan a MN en los puntos P y Q, respectivamente. Sea O el incentro del triángulo ABC.
Probar que:

MP.OA = BC.OQ

5

Sea la función f definida sobre el conjunto {1; 2; 3; ... }

1. f(1) = 1

2. f(2n + 1) = f(2n) +1

3. f(2n) = 3f(n)

Determinar el conjunto de valores que toma f.

6

Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación: 2x² - 3x = 3y²

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