40 Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

27 y 28 de mayo de 1999

 

1

Sea S(x) la suma de los dígitos de x (por ejemplo, S(1999) = 28). Decidir si existen tres números naturales a, b, c, tales que S(a + b) < 5, S(a + c) < 5, S(b + c) < 5 y S(a + b + c) > 50.

2

Se consideran cuatro circunferencias C1, C2, C3, C4 tales que C1 y C2 son tangentes exteriores en A, C2 y C3 son tangentes exteriores en B, C3 Y C4 son tangentes exteriores en C, C4 y C1 el son tangentes exteriores en D y además, las rectas AB y CD se cortan en S. Se traza por S una tangente a C2 que toca a dicha circunferencia en P y se traza por S una tangente a C4 que toca a dicha circunferencia en Q. Demostrar que SP = SQ.

3

Diremos que un entero positivo n es aceptable si los 2n números 0, 0, 1, 1, ..., n - 1, n - 1 se pueden ordenar de manera que para cada k = 0, 1, 2, ..., n - 1 haya exactamente k números ubicados entre las dos posiciones en que está colocado k (es decir, entre los dos 0 no hay otro número, entre los dos 1 hay un número, entre los dos 2 hay dos números, entre los dos 3 hay tres números, y así siguiendo).

Demostrar que hay infinitos números n que son aceptables y hay infinitos números n que no son aceptables.

4

Se escribe una sucesión de números enteros positivos menores o iguales que 56 (los números se pueden repetir), tales que cada números escrito, excepto el primero y el último, es mayor que el promedio de sus dos vecinos (el de la izquierda y el de la derecha). Determinar cuál es la mayor cantidad de números que puede haber escritos.

5

Sea f: R -> R una función que satisface las siguientes dos condiciones

  1. Si x < y entonces f(x) > f(y);
  2. x + f(x) = f(x + f(x)), para todo número real x.

Demostrar que para todo número real x se verifica

f(f(x)) = x.

6

En una fiesta participan 12k personas, con k número natural, y cada participante tiene exactamente 3k + 6 amigos entre los restantes invitados. Además el número de amigos comunes presentes en la fiesta que tiene cada par de participantes es siempre el mismo. Determinar cuántas personas hay en la fiesta y demostrar que dicha fiesta es posible.

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