42° Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

23 y 24 de mayo de 2001

 

PRIMER DIA (23/05/2001)

1. En la Cámara de Diputados se deben formar n comisiones (n ³ 3), cada una con tres integrantes, de modo tal que para cada par de comisiones haya exactamente un diputado que integra esas dos comisiones. Determinar el mínimo valor de n tal que las condiciones anteriores obliguen a poner a un mismo diputado en todas las comisiones.

2. Dado un par ordenado de números naturales (a, b), las operaciones permitidas son reemplazar el par (a, b) por el par (a+ 1, + 1) o reemplazar el par (a,b) por el par (a + 1, b+ 1). Determinar todos los naturales n tales que, a partir del par (1,3) y mediante una secuencia de operaciones permitidas se puede obtener el par (n,n).

3. Dada una circunferencia y un punto A exterior a la circunferencia, sean M y N los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circunferencia trazadas desde A. Una recta por A intersecta a la circunferencia en B y C. Si D es el punto medio del segmento MN, demostrar que MN es bisectriz del ángulo BDC.

 

SEGUNDO DIA (24/05/2001)

4. Hay n personas sentadas alrededor de una mesa redonda, y están numeradas de 1 a n, siguiendo el sentido de las agujas del reloj. Cada una de ellas, comenzando por la primera, tiene una moneda más que la persona que le sigue. Es decir, si ai es la cantidad de monedas que tiene la persona número i, (1 £ i £ n) entonces a1 = a2 + 1 = a3 + 2 = ... = an + n - 1. En un momento dado, comienzan a pasarse monedas, de la siguiente manera: la primera persona le da una moneda al vecino que está a su izquierda, y luego, cada cual en su turno, siguiendo el sentido horario, entrega al vecino que está a su izquierda una moneda más que las que acaba de recibir (si recibió k monedas entrega k+1). El proceso se detiene cuando una persona no tiene suficientes monedas para darle lo que corresponde al vecino que está a su izquierda. En ese momento hay dos personas que son vecinas y tales que una de ellas tiene exactamente 5 veces la cantidad de monedas que tiene la otra. Determinar el número de personas que puede haber alrededor de la mesa y la cantidad total de monedas que tienen.

5. Sea C el menor de los ángulos del triángulo ABC. En la circunferencia que pasa por A, B y C, consideramos un punto variable X en el arco AB que no contiene a C. Sea D en la semirrecta AX tal que AD = BC y sea E en la semirrecta BX tal que BE = AC. Denotamos M al punto medio del segmento DE. Determinar el lugar geométrico de los puntos M cuando X varía en el arco AB.

6. Demostrar que para cada entero n ³ 3 se pueden elegir n números naturales distintos con la siguiente propiedad: para cada uno de los n números, el resto de dividir el producto de los otros n -1 números por ese número es igual a 1.


Archivo de Enunciados Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   
www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar
duty free alcohol rules duty free cigs online duty free cuban cigars where to buy cosmetics buy duty free perfume buy tobacco online canada
alcohol duty free duty free cigarettes airport buy cigars duty free buy cosmetics wholesale buy duty free perfume online buy tobacco online usa