Version: Albanian

Dita e parë

Mar del Plata, Argentina - 24 korrik, 1997

1. Në plan, pikat me koordinata numra të plotë janë kulme të katrorëve njësi. Katrorët janë ngjyrosur bardhë e zi në mënyrë të alternuar (si fushë shahu).

Për çdo çift numrash të plotë pozitivë (jo zero) m dhe n, marrim një trekëndësh këndrejtë, kulmet e të cilit kanë si koordinata numra të plotë dhe katetet me gjatësi m dhe n të të cilit, shtrihen gjatë brinjëve të katrorëve.

Le të jetë S_{1}, sipërfaqja e përgjithshme e pjesës së zezë të trekëndëshit dhe S_{2} sipërfaqja e përgjithsme e pjesës së bardhë. Le të jetë

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Njehsoni f(m, n) për të gjithë numrat e plotë pozitivë ( jo zero) që janë ose të dy çift ose të dy tek.

(b) Provoni që f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} për të gjitha m dhe n.

(c) Tregoni që nuk ekziston konstante C e tillë që f(m, n) < C për të gjitha m dhe n.

2. Këndi A është më i vogli në trekëndëshin ABC.

Pikat B dhe C ndajnë rrethin e jashtëshkruar trekëndëshit, në dy harqe. Le të jetë U një pikë e brendëshme e harkut të kufizuar nga B dhe C që nuk përmban pikën A.

Përmesoret (janë pingul mbi segmentet përkatëse) e segmenteve AB dhe AC presin drejtëzën AU në pikat V dhe W, respektivisht. Drejtëzat BV dhe CW priten në pikën T.

Tregoni që AU = T B + T C.

3. Le të jenë x_{1}, x_{2}, …, x_{n} numra realë që plotësojnë kushtet

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

dhe

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} për i = 1, 2, …, n.

Tregoni që ekziston një përkëmbim y_{1}, y_{2}, …, y_{n} i numrave x_{1}, x_{2}, …, x_{n} i tillë që

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Çdo ushtrim vlen 7 pikë. Koha: 4\frac{1}{2} orë.