Version: Bosnian

Prvi dan

Mar del Plata, Argentina - 24. juli 1997.

1. U ravni, tačke s cjelobrojnim koordinatama su vrhovi jediničnih kvadrata. Kvadrati su obojeni naizmjenično u crno i bijelo (kao na šahovskoj tabli).

Za svaki par pozitivnih cijelih brojeva m i n, posmatrajmo pravougli trougao čiji vrhovi imaju cjelobrojne koordinate, a katete, dužine m i n, leže duž stranica jediničnih kvadrata.

Neka je S_{1} ukupna površina crnog dijela ovog trougla, a S_{2} ukupna površina bijelog dijela. Stavimo

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

a) Izračunajte f(m, n) za sve pozitivne cijele brojeve m i n koji su ili oba parna ili oba neparna.

b) Dokažite da f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} za sve m i n.

c) Dokažite da ne postoji konstanta C takva da je f(m, n) < C za sve m i n.

2. Ugao s vrhom A je najmanji ugao trougla ABC.

Tačke B i C dijele kružnicu opisanu oko trougla na dva luka. Neka je U unutrašnja tačka onog luka s krajevima B i C, koji ne sadrži A.

Simetrale strana AB i AC sijeku pravu AU u tačkama V i W, redom. Prave BV i CW se sijeku u T.

Dokažite da

\overline{AU} = \overline{T B} + \overline{T C}.

3. Neka su x_{1}, x_{2}, …, x_{n} realni brojevi koji zadovoljavaju uslove

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

i

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} za i = 1, 2, …, n.

Dokažite da postoji permutacija y_{1}, y_{2}, …, y_{n} brojeva x_{1}, x_{2}, …, x_{n} takva da vrijedi

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Svaki zadatak vrijedi 7 bodova. Vrijeme: 4\frac{1}{2} sata.