Version: Bosnian

Drugi dan

Mar del Plata, Argentina - 25. juli 1997.

4. Matricu formata n × n (kvadratnu tabelu s n vrsta i n kolona) čiji su elementi iz skupa S = {1, 2, …, 2n−1}, zovemo srebrena matrica ako, za svako i = 1, …, n , unija i-te vrste i i-te kolone sadrži sve elemente skupa S. Dokažite da

(a) ne postoji srebrena matrica za n = 1997;

(b) srebrene matrice postoje za beskonačno mnogo vrijednosti od n.

5. Nadite sve parove (a, b) cijelih brojeva a ≥ 1, b ≥ 1 koji zadovoljavaju jednačinu

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Za svaki pozitivan cio broj n, neka f(n) označava broj različitih načina na koje se n može predstaviti kao zbir stepena broja 2 s nenegativnim cijelim eksponentima.

Prikaze koji se razlikuju samo u poretku sabiraka, smatramo istim. Npr., f(4) = 4, jer se broj 4 može prikazati na sljedeća četiri načina: 4, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.

Dokažite da, za svaki cio broj n ≥ 3, vrijedi

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Svaki zadatak vrijedi 7 bodova. Vrijeme: 4\frac{1}{2} sata.