Version: Croat

Prvi dan

Mar del Plata, Argentina - 24. srpnja 1997.

1. Točke u ravnini, sa cjelobrojnim koordinatama, su vrhovi jediničnih kvadrata. Kvadrati su naizmjenično obojeni crnom i bijelom bojom (kao na šahovskoj ploči).

Za svaki par pozitivnih cijelih brojeva m i n, promatraj pravokutni trokut čiji vrhovi imaju cjelobrojne koordinate, a njegove katete, duljina m i n, leže na stranicama jediničnih kvadrata.

Neka je S_{1} ukupna površina crnog dijela trokuta i S_{2} ukupna površina bijelog dijela. Neka je

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

a) Odredi f(m, n) za svake pozitivne cijele brojeve m i n koji su ili oba parni ili oba neparni.

b) Dokaži da je f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} za svake m i n.

c) Pokaži da ne postoji konstanta C takva da je f(m, n) < C, za svake m i n.

2. Neka je ^{}A̸ najmanji kut trokuta ABC.

Točke B i C dijele kružnicu opisanu oko trokuta na dva luka. Neka je U unutrašnja točka luka izmedu B i C koji ne sadrži točku A.

Simetrale od \overline{AB} i \overline{AC} sijeku pravac AU u točkama V i W, tim redom. Pravci BV i CW sijeku se u točki T.

Pokaži da je

|AU| = |T B| + |T C|.

3. Neka su x_{1}, x_{2}, …, x_{n} realni brojevi koji zadovoljavaju uvjete

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

i

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} za i = 1, 2, …, n.

Pokaži da postoji permutacija y_{1}, y_{2}, …, y_{n} od x_{1}, x_{2}, …, x_{n} tako da je

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Svaki zadatak vrijedi 7 bodova. Vrijeme: 4\frac{1}{2} sati.