Version: Croat

Drugi dan

Mar del Plata, Argentina - 25. srpnja 1997.

4. Matrica n×n (kvadratno polje) čiji su elementi brojevi iz skupa S = {1, 2, …, 2n−1} naziva se srebrna matrica, ako za svaki i = 1, …, n , i-ti redak i i-ti stupac, zajedno sadrže sve elemente od S. Pokaži da:

(a) ne postoji srebrna matrica za n = 1997;

(b) postoje srebrne matrice za beskonačno mnogo brojeva n.

5. Nadi sve parove (a, b) cijelih brojeva a ≥ 1, b ≥ 1 koji zadovoljavaju jednadžbu

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Za svaki pozitivan cijeli broj n, s f(n) je označen broj različitih prikaza broja n kao sume potencija broja 2 s nenegativnim cjelobrojnim eksponentima.

Prikazi koji se razlikuju samo u poretku njegovih sumanada, smatraju se jednakima. Npr., f(4) = 4 jer se broj 4 može prikazati na ova četiri načina: 4, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.

Dokaži, da je za svaki cijeli broj n ≥ 3,

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Svaki zadatak vrijedi 7 bodova. Vrijeme: 4\frac{1}{2} sati.