Version: Czech

První den

Mar del Plata, Argentina - 24. července 1997

1. Body roviny s celočíselnými souřadnicemi jsou vrcholy jednotkových čtverců. Tyto čtverce jsou obarveny střídavě černě a bíle (jako na šachovnici).

Pro libovolnou dvojici kladných celých čísel m a n uvažujme pravoúhlý trojúhelník, jehož vrcholy mají celočíselné souřadnice a jehož odvěsny délek m a n leží podél stran čtverců.

Necht’ S_{1} je celkový obsah černé části trojúhelníku a S_{2} celkový obsah jeho bílé části. Označme

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}| .

(a) Vypočtěte f(m, n) pro všechna kladná celá čísla m a n, která jsou bud’ obě sudá, nebo obě lichá.

(b) Dokažte, že f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} pro všechna m a n.

(c) Ukažte, že neexistuje žádná konstanta C taková, že f(m, n) < C pro všechna m a n.

2. Trojúhelník ABC má nejmenší úhel při vrcholu A. Body B a C rozdělují kružnici trojúhelníku opsanou na dva oblouky. Necht’ U je vnitřní bod toho oblouku mezi body B a C, který neobsahuje bod A.

Osy úseček AB a AC protínají přímku AU po řadě v bodech V a W. Přímky BV a CW se protínají v bodě T.

Dokažte, že

|AU| = |T B| + |T C|.

3. Necht’ x_{1}, x_{2}, …, x_{n} jsou reálná čísla splňující podmínky:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

a

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} pro i = 1, 2, …, n.

Dokažte, že existuje pořadí y_{1}, y_{2}, …, y_{n} čísel x_{1}, x_{2}, …, x_{n} takové, že

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Každá úloha je hodnocena 7 body. Čas: 4\frac{1}{2} hodiny.