Version: Czech

Druhý den

Mar del Plata, Argentina - 25. července 1997

4. Matice n × n (tabulka o n řádcích a n sloupcích), jejíž všechny prvky jsou z množiny S = {1, 2, …, 2n−1}, se nazývá stříbrná matice, když pro každé i = 1, …, n její i-tý řádek a i-tý sloupec dohromady obsahují všechny prvky S. Dokažte, že

(a) neexistuje žádná stříbrná matice pro n = 1997;

(b) stříbrné matice existují pro nekonečně mnoho hodnot n.

5. Najděte všechny dvojice (a, b) celých čísel a ≥ 1, b ≥ 1, které splňují rovnici

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Pro každé kladné celé n označme f(n) počet způsobů vyjádření čísla n ve tvaru součtu mocnin čísla 2 s nezápornými celými exponenty.

Vyjádření, která se liší jen pořadím sčítanců, považujeme za stejná. Například f(4) = 4, protože číslo 4 můžeme vyjádřit následujícími čtyřmi způsoby: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Dokažte, že pro každé celé číslo n ≥ 3 platí

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Každá úloha je hodnocena 7 body. Čas: 4\frac{1}{2} hodiny.