Version: Dutch

Eerste dag

Mar del Plata, Argentinië - 24 juli, 1997

1. In het vlak zijn de punten met gehele coördinaten de hoekpunten van eenheidsvierkanten. De vierkanten zijn afwisselend zwart en wit gekleurd (zoals op een schaakbord).

Voor ieder paar van positieve gehele getallen m en n beschouwen we een rechthoekige driehoek, waarvan de hoekpunten gehele coördinaten hebben en waarvan de rechthoekszijden, met lengten m en n, gelegen zijn langs de zijden van de vierkanten.

Laat S_{1} de totale oppervlakte zijn van het zwarte deel van de driehoek en S_{2} de totale oppervlakte van het witte deel. Stel

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Bepaal f(m, n) voor alle paren positieve gehele getallen m en n die beide ofwel even ofwel oneven zijn.

(b) Bewijs dat f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} voor alle m en n.

(c) Toon aan dat er geen constante C bestaat zodanig dat f(m, n) < C voor alle m en n.

2. In driehoek ABC is hoek A het kleinst.

De punten B en C verdelen de omgeschreven cirkel van de driehoek in twee bogen. Laat U een punt zijn op het inwendige van de boog tussen B en C die het punt A niet bevat.

De middelloodlijnen van AB en AC snijden de lijn AU in respectievelijk de punten V en W. De lijnen BV en CW snijden elkaar in T.

Toon aan dat

AU = T B + T C.

3. Stel x_{1}, x_{2}, …, x_{n} zijn reële getallen die aan de volgende voorwaarden voldoen:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

en

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} voor i = 1, 2, …, n.

Toon aan dat er een herschikking (permutatie) y_{1}, y_{2}, …, y_{n} van x_{1}, x_{2}, …, x_{n} bestaat zodanig dat

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Voor iedere opgave maximaal 7 punten. Beschikbare tijd: 4\frac{1}{2} uur.