Version: Dutch

Tweede dag

Mar del Plata, Argentinië - 25 juli, 1997

4. Een n × n matrix (een rangschikking van getallen in n rijen en n kolommen), waarvan de getallen behoren tot de verzameling S = {1, 2, …, 2n−1} noemen we een zilver matrix indien voor alle i = 1, …, n , in de ide rij en de ide kolom samen alle elementen van S voorkomen. Toon aan dat

(a) er geen zilver matrix bestaat voor n = 1997;

(b) er voor oneindig veel waarden van n zilver matrices bestaan.

5. Bepaal alle paren van gehele getallen (a, b) met a ≥ 1, b ≥ 1, waarvoor de volgende

vergelijking geldt:

a^{(b^{2})} = b^{a}.

6. Voor ieder positief geheel getal n is f(n) het aantal manieren waarop het getal n kan worden voorgesteld als de som van machten van 2, met niet negatieve gehele exponenten.

Voorstellingen die alleen in de volgorde verschillen worden als gelijk beschouwd. Zo is bijvoorbeeld f(4) = 4 omdat het getal 4 op de volgende vier verschillende manieren kan worden voorgesteld: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Bewijs dat voor ieder geheel getal n ≥ 3 geldt:

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Voor iedere opgave maximaal 7 punten. Beschikbare tijd: 4\frac{1}{2} uur.