Version: Estonian

Esimene päev

Mar del Plata, Argentiina - 24. juuli 1997

1. Tasandi täisarvuliste koordinaatidega punktid on ühikruutude tippudeks. Ruudud on värvitud vaheldumisi mustaks ja valgeks (nagu malelaual).

Mistahes positiivsete täisarvude paari m, n korral vaatleme täisnurkset kolmnurka, mille tipud on täisarvuliste koordinaatidega ning mille kaatetid pikkustega m ja n paiknevad piki ruutude servi.

Olgu S_{1} sellise kolmnurga musta osa kogupindala ja S_{2} selle valge osa kogupindala ning olgu

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}| .

(a) Leia f(m, n) väärtused kõigi selliste positiivsete täisarvude m ja n korral, mis on mõlemad paaris või mõlemad paaritud.

(b) Tõesta, et f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max(m, n) mistahes m ja n korral.

(c) Tõesta, et ei leidu niisugust konstanti C, et f(m, n) < C mistahes m ja n korral.

2. Olgu nurk ^{}A̸ vähim kolmnurgas ABC.

Punktid B ja C jaotavad selle kolmnurga ümberringjoone kaheks kaareks. Olgu U sisepunkt sellel punktide B ja C vahelisel kaarel, mis ei sisalda punkti A.

Lõikude AB ja AC keskristsirged lõikavad sirget AU vastavalt punktides V ja W . Sirged BV ja CW lõikuvad punktis T .

Tõesta, et

|AU| = |T B| + |T C| .

3. Olgu x_{1}, x_{2}, …, x_{n} sellised reaalarvud, et

|x_{1} + x_{2} + … + x_{n}| = 1

ja

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} iga i = 1, 2, …, n korral.

Tõesta, et leidub arvude x_{1}, x_{2}, …, x_{n} niisugune ümberjärjestus y_{1}, y_{2}, …, y_{n}, mille korral

|y_{1} + 2y_{2} + … + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Iga ülesande lahendus on väärt 7 punkti. Aega: 4\frac{1}{2} tundi.